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Question Number 122231 by fajri last updated on 15/Nov/20

Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Nov/20

e^(tA) =Σ_(n=0) ^∞ ((t^n A^n )/(n!)) let determine A^n P_c (A)=det(A−xI) = determinant (((3−x −1 1)),((2 −x 1))) ∣ 1 −1 2−x∣ =(3−x) determinant (((−x 1)),((−1 2−x)))−2 determinant (((−1 1)),((−1 2−x)))+ determinant (((−1 1)),((−x 1))) =(3−x)(−x(2−x)+1)−2(−2+x+1)−1+x =(3−x)(−2x+x^2 +1)−2(x−1)+(x−1) =(x−1)^2 (3−x)−(x−1) =(x−1)((x−1)(3−x)−1) =(x−1)(3x−x^2 −3+x−1) =(x−1)(−x^2 +4x−1) =(1−x)(x^2 −4x +1) x^2 −4x+1=0 →Δ^′ =4−1=3 ⇒x_1 =2+(√3) and x_2 =2−(√3) ⇒λ_1 =1 ,λ_2 =2+(√3) ,λ_3 =2−(√3) if we divide x^n by p_c (A) we get x^n =qp_c (A)+u_n x^2 +v_n x +s_n 1 =u_n +v_n +s_n snd (2+(√3))^n =u_n (2+(√3))^2 +v_n (2+(√3))+s_n (2−(√3))^n =u_n (2−(√3))^2 +v_n (2−(√3)) +s_n we get the system { ((u_n +v_n +s_n =1)),(((2+(√3))^2 u_n +(2+(√3))v_n +s_n =(2+(√3))^n )) :} {(2−(√3))^2 u_n +(2−(√3))v_n +s_n =(2−(√3))^n ⇒ (((1 1 1)),(((2+(√3))^2 2+(√3) 1)) ). ((u_n ),(v_n ) ) = ((1),(((2+(√3))^n )) ) ((2−(√3))^2 2−(√3) 1 ) (s_n ) ( (2−(√3))^n ) ⇒ M. ((u_n ),(v_n ) )= ((1),(((2+(√3))^n )) ) (s_n ) ((2−(√3))^n ) ⇒ ((u_n ),(v_n ) )= M^(−1) ((1),(((2+(√3))^n )) ) ( s_n ) ((2−(√3))) we have A^n =u_n A^2 +v_n A +s_n I rest to find M^(−1) =(t_(com(M)) /(det M)) ...be continued....

$$\mathrm{e}^{\mathrm{tA}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \mathrm{A}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{A}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{P}_{\mathrm{c}} \left(\mathrm{A}\right)=\mathrm{det}\left(\mathrm{A}−\mathrm{xI}\right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{3}−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}−\mathrm{x}\mid \\ $$$$=\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\begin{vmatrix}{−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}−\mathrm{x}}\end{vmatrix}−\mathrm{2}\begin{vmatrix}{−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}−\mathrm{x}}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$$=\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\left(−\mathrm{x}\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\left(−\mathrm{2}+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}+\mathrm{x} \\ $$$$=\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\left(−\mathrm{2x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}+\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}\:+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{4}−\mathrm{1}=\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\lambda_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:,\lambda_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\:,\lambda_{\mathrm{3}} =\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{divide}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{by}\:\mathrm{p}_{\mathrm{c}} \left(\mathrm{A}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{qp}_{\mathrm{c}} \left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}\:+\mathrm{s}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{1}\:=\mathrm{u}_{\mathrm{n}} +\mathrm{v}_{\mathrm{n}} +\mathrm{s}_{\mathrm{n}} \:\:\:\mathrm{snd}\:\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{s}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:+\mathrm{s}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} +\mathrm{v}_{\mathrm{n}} +\mathrm{s}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}}\\{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{u}_{\mathrm{n}} +\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{v}_{\mathrm{n}} +\mathrm{s}_{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} }\end{cases} \\ $$$$\:\:\:\left\{\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{u}_{\mathrm{n}} \:+\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \:+\mathrm{s}_{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\right. \\ $$$$\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }\\{\mathrm{v}_{\mathrm{n}} }\end{pmatrix}\:\:=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} }\end{pmatrix} \\ $$$$\:\:\left(\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\right)\:\left(\mathrm{s}_{\mathrm{n}} \right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\:\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right)\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{M}.\begin{pmatrix}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }\\{\mathrm{v}_{\mathrm{n}} }\end{pmatrix}=\:\begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} }\end{pmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{s}_{\mathrm{n}} \right)\:\:\:\:\:\:\:\left(\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right)\:\:\Rightarrow \\ $$$$\begin{pmatrix}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }\\{\mathrm{v}_{\mathrm{n}} }\end{pmatrix}=\:\mathrm{M}^{−\mathrm{1}} \:\begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} }\end{pmatrix} \\ $$$$\:\:\left(\:\mathrm{s}_{\mathrm{n}} \:\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right)\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{A}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{A}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \mathrm{A}\:+\mathrm{s}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{I}\:\:\:\:\:\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\:\mathrm{M}^{−\mathrm{1}} \:\:=\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{com}\left(\mathrm{M}\right)} }{\mathrm{det}\:\mathrm{M}} \\ $$$$...\mathrm{be}\:\mathrm{continued}.... \\ $$

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