Question Number 122713 by mnjuly1970 last updated on 19/Nov/20
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:...\:\:{advanced}\:\:{math}\:... \\ $$$$\:\:\:\:\:{two}\:\:{simple}\:{and}\:{nice}\:{integrals}: \\ $$$$\:\:\:{prove}\:\:{that}:: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Omega_{\mathrm{1}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{{sin}\left({e}^{−\gamma} {x}\right){ln}\left({x}\right)}{{x}}\:{dx}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Omega_{\mathrm{2}} \:=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{{sin}\left({x}^{\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}} \right){ln}\left({x}\right)}{{x}}{dx}=−\pi\gamma\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{note}\:::\:\gamma\::\:\:\mathscr{E}{uler}−{mascheroni} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{constant}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:.{m}.{n}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$