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Question Number 123199 by aurpeyz last updated on 23/Nov/20

sketch the curve of y=((x^2 −1)/(x^2 −7x−12))

$${sketch}\:{the}\:{curve}\:{of}\:{y}=\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{12}} \\ $$

Answered by MJS_new last updated on 24/Nov/20

y=((x^2 −1)/(x^2 +7x−12)) y′=−((7x^2 +22x+7)/((x^2 +7x−12)^2 )) y′′=((2(7x^3 +33x^2 +21x+83))/((x^2 −7x−12)^3 )) y=0 ⇒ zeros at x=±1 x^2 +7x−12=0 ⇒ asymptotes at x=((7±(√(97)))/2) (≈−1.42 and 8.42) y=1+((7x+11)/(x^2 −7x−12)) ⇒ asymptote at y=1 (for x=±∞) y′=0 ⇒ extremes at x=−((11±6(√2))/7) (≈−2.78 and −.36) y′′ { ((>0 for x=−((11+6(√2))/7) ⇒ local min at ≈ (((−2.78)),((.44)) ))),((<0 for x=−((11−6(√2))/7) ⇒ local max at ≈ (((−.36)),((.09)) ))) :} y′′=0 ⇒ inflection point ≈ (((−4.62)),((.49)) ) y′′ { ((<0 for x<≈−4.62 ⇒ curvature −)),((>0 for ≈−4.62<x<≈−1.42 ⇒ curvature +)),((<0 for ≈−1.42<x<≈8.42 ⇒ curvature −)),((>0 for x>≈8.42 ⇒ curvature + )) :} now sketch it

$${y}=\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{x}−\mathrm{12}} \\ $$$${y}'=−\frac{\mathrm{7}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{22}{x}+\mathrm{7}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{x}−\mathrm{12}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${y}''=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{7}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{33}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{21}{x}+\mathrm{83}\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{12}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${y}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{zeros}\:\mathrm{at}\:{x}=\pm\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{x}−\mathrm{12}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{asymptotes}\:\mathrm{at}\:{x}=\frac{\mathrm{7}\pm\sqrt{\mathrm{97}}}{\mathrm{2}}\:\left(\approx−\mathrm{1}.\mathrm{42}\:\mathrm{and}\:\mathrm{8}.\mathrm{42}\right) \\ $$$${y}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{7}{x}+\mathrm{11}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{12}}\:\Rightarrow\:\mathrm{asymptote}\:\mathrm{at}\:{y}=\mathrm{1}\:\left(\mathrm{for}\:{x}=\pm\infty\right) \\ $$$${y}'=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{extremes}\:\mathrm{at}\:{x}=−\frac{\mathrm{11}\pm\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{7}}\:\left(\approx−\mathrm{2}.\mathrm{78}\:\mathrm{and}\:−.\mathrm{36}\right) \\ $$$${y}''\:\begin{cases}{>\mathrm{0}\:\mathrm{for}\:{x}=−\frac{\mathrm{11}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{7}}\:\Rightarrow\:\mathrm{local}\:\mathrm{min}\:\mathrm{at}\:\approx\begin{pmatrix}{−\mathrm{2}.\mathrm{78}}\\{.\mathrm{44}}\end{pmatrix}}\\{<\mathrm{0}\:\mathrm{for}\:{x}=−\frac{\mathrm{11}−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{7}}\:\Rightarrow\:\mathrm{local}\:\mathrm{max}\:\mathrm{at}\:\approx\begin{pmatrix}{−.\mathrm{36}}\\{.\mathrm{09}}\end{pmatrix}}\end{cases} \\ $$$${y}''=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{inflection}\:\mathrm{point}\:\approx\begin{pmatrix}{−\mathrm{4}.\mathrm{62}}\\{.\mathrm{49}}\end{pmatrix} \\ $$$${y}''\:\begin{cases}{<\mathrm{0}\:\mathrm{for}\:{x}<\approx−\mathrm{4}.\mathrm{62}\:\Rightarrow\:\mathrm{curvature}\:−}\\{>\mathrm{0}\:\mathrm{for}\:\approx−\mathrm{4}.\mathrm{62}<{x}<\approx−\mathrm{1}.\mathrm{42}\:\Rightarrow\:\mathrm{curvature}\:+}\\{<\mathrm{0}\:\mathrm{for}\:\approx−\mathrm{1}.\mathrm{42}<{x}<\approx\mathrm{8}.\mathrm{42}\:\Rightarrow\:\mathrm{curvature}\:−}\\{>\mathrm{0}\:\mathrm{for}\:{x}>\approx\mathrm{8}.\mathrm{42}\:\Rightarrow\:\mathrm{curvature}\:+\:}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{sketch}\:\mathrm{it} \\ $$

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