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Question Number 123710 by Bird last updated on 27/Nov/20

calculate ∫_1 ^(√3) (dx/((x^2 +1)^2 (x+2)^5 ))

$${calculate}\:\:\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\:\frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$

Answered by MJS_new last updated on 27/Nov/20

Ostrogradski gives ∫(dx/((x^2 +1)^2 (x+2)^5 ))= =−((372x^5 +2502x^4 +6016x^3 +6383x^2 +4144x+3131)/(7500(x^2 +1)(x+2)^4 ))− −(1/(625))∫((31x+17)/((x^2 +1)(x+2)))dx −(1/(625))∫((31x+17)/((x^2 +1)(x+2)))dx= =−((79)/(6250))∫((2x)/(x^2 +1))dx+(3/(3125))∫(dx/(x^2 +1))+((79)/(3125))∫(dx/(x+2))= =−((79)/(6250))ln (x^2 +1) +(3/(3125))arctan x +((79)/(3125))ln ∣x+2∣ +C ⇒ answer is (π/(12500))−((146149)/(81000))+((2609(√3))/(2500))+((79)/(6250))ln ((7+4(√3))/(18))

$$\mathrm{Ostrogradski}\:\mathrm{gives} \\ $$$$\int\frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{5}} }= \\ $$$$=−\frac{\mathrm{372}{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{2502}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{6016}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6383}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4144}{x}+\mathrm{3131}}{\mathrm{7500}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} }− \\ $$$$\:\:\:\:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{625}}\int\frac{\mathrm{31}{x}+\mathrm{17}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)}{dx} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{625}}\int\frac{\mathrm{31}{x}+\mathrm{17}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)}{dx}= \\ $$$$=−\frac{\mathrm{79}}{\mathrm{6250}}\int\frac{\mathrm{2}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dx}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3125}}\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{79}}{\mathrm{3125}}\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{2}}= \\ $$$$=−\frac{\mathrm{79}}{\mathrm{6250}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3125}}\mathrm{arctan}\:{x}\:+\frac{\mathrm{79}}{\mathrm{3125}}\mathrm{ln}\:\mid{x}+\mathrm{2}\mid\:+{C} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is} \\ $$$$\frac{\pi}{\mathrm{12500}}−\frac{\mathrm{146149}}{\mathrm{81000}}+\frac{\mathrm{2609}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2500}}+\frac{\mathrm{79}}{\mathrm{6250}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{18}} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 28/Nov/20

thank you sir mjs

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{mjs} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Nov/20

complex method I =∫_1 ^(√3) (dx/((x−i)^2 (x+i)^2 (x+2)^5 )) =∫_1 ^(√3) (dx/((((x−i)/(x+i)))^2 (x+i)^4 (x+2)^5 )) we do the changement ((x−i)/(x+i))=t ⇒x−i=tx+it ⇒(1−t)x=it+i ⇒ x=i((1+t)/(1−t)) ⇒(dx/dt) =i((1−t−(1+t)(−1))/((1−t)^2 ))=i ((1−t+1+t)/((1−t)^2 ))=((2i)/((1−t)^2 )) x+i =((i+it)/(1−t)) +i =((i+it+i−it)/(1−t)) =((2i)/(1−t)) x+2 =((i+it)/(1−t)) +2 =((i+it+2−2t)/(1−t)) =(((−2+i)t +2+i)/(1−t)) ⇒ I =∫_((1−i)/(1+i)) ^(((√3)−i)/( (√3)+i)) ((2i)/((1−t)^2 t^2 (((2i)^4 )/((1−t)^4 ))((((−2+i)t+2+i)^5 )/((1−t)^5 ))))dt =((−1)/((2i)^3 ))∫_((1−i)/(1+i)) ^(((√3)−i)/( (√3)+i)) (((t−1)^9 )/((t−1)^2 t^2 {(−2+i)t +2+i}^5 ))dt =−(i/8)∫_((1−i)/(1+i)) ^(((√3)−i)/( (√3)+i)) (((t−1)^7 )/(t^2 {(−2+i)t+2+i}^5 ))dt =(i/8) ∫_((1−i)/(1+i)) ^(((√3)−i)/( (√3)+i)) ((Σ_(k=0) ^7 (−1)^k C_7 ^k t^k (−1)^(7−k) )/(t^2 {(−2+i)t+2+i}^5 ))dt rst decomposition....be continued...

$$\mathrm{complex}\:\mathrm{method} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{5}} }\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{i}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{i}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{i}=\mathrm{tx}+\mathrm{it}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{x}=\mathrm{it}+\mathrm{i}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{i}\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\:=\mathrm{i}\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}−\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\left(−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{i}\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}+\mathrm{1}+\mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{2i}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{i}\:=\frac{\mathrm{i}+\mathrm{it}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:+\mathrm{i}\:=\frac{\mathrm{i}+\mathrm{it}+\mathrm{i}−\mathrm{it}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:=\frac{\mathrm{2i}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{2}\:=\frac{\mathrm{i}+\mathrm{it}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:+\mathrm{2}\:=\frac{\mathrm{i}+\mathrm{it}+\mathrm{2}−\mathrm{2t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:=\frac{\left(−\mathrm{2}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}\:+\mathrm{2}+\mathrm{i}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int_{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}}{\mathrm{1}+\mathrm{i}}} ^{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{i}}} \:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2i}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} \frac{\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{4}} }\frac{\left(\left(−\mathrm{2}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}+\mathrm{2}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{5}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{5}} }}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{3}} }\int_{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}}{\mathrm{1}+\mathrm{i}}} ^{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{i}}} \:\:\:\:\:\:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{9}} }{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left\{\left(−\mathrm{2}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}\:+\mathrm{2}+\mathrm{i}\right\}^{\mathrm{5}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{8}}\int_{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}}{\mathrm{1}+\mathrm{i}}} ^{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{i}}} \:\:\:\:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{7}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left\{\left(−\mathrm{2}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}+\mathrm{2}+\mathrm{i}\right\}^{\mathrm{5}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{8}}\:\int_{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}}{\mathrm{1}+\mathrm{i}}} ^{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{i}}} \:\:\:\frac{\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{7}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{t}^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{7}−\mathrm{k}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left\{\left(−\mathrm{2}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}+\mathrm{2}+\mathrm{i}\right\}^{\mathrm{5}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{rst}\:\mathrm{decomposition}....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$

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