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Question Number 125440 by bramlexs22 last updated on 11/Dec/20

∫((2x^2 −3x−3)/((x−1)(x^2 −2x+5))) dx

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{3}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right)}\:{dx}\: \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 11/Dec/20

f(x)=((2x^2 −3x−3)/((x−1)(x^2 −2x+5)))=(a/(x−1))+((bx+c)/(x^2 −2x+5)) =((a(x^2 −2x+5)+(bx+c)(x−1))/((x−1)(x^2 −2x+5))) set x−1=0 ⇒ −4=4a ⇒ a=−1 Comparing coefficients of x^2 we get; a+b=2 ⇒ b=3 Comparing constant terms we get; 5a−c=−3 ⇒ c=−2 ⇒f(x)=((−1)/(x−1))+((3x−2)/(x^2 −2x+5)) 3x−2=λ{(d/dx)(x^2 −2x+5)}+μ=λ(2x−2)+μ Comparing coefs 2λ=3 ⇒ λ=(3/2), μ−2λ=−2 ⇒ μ=1 3x−2=(3/2)(2x−2)+1 ⇒∫f(x)dx=∫{((−1)/(x−1))+(3/2)∙((2x−2)/(x^2 −2x+5))+(1/(x^2 −2x+5))}dx

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}\right)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{c}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}\right)+\left(\mathrm{bx}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}\right)} \\ $$$$\mathrm{set}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:−\mathrm{4}=\mathrm{4a}\:\Rightarrow\:\mathrm{a}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Comparing}\:\mathrm{coefficients}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{get}; \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{b}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Comparing}\:\mathrm{constant}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}; \\ $$$$\mathrm{5a}−\mathrm{c}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\mathrm{c}=−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{3x}−\mathrm{2}=\lambda\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}\right)\right\}+\mu=\lambda\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)+\mu \\ $$$$\mathrm{Comparing}\:\mathrm{coefs}\:\mathrm{2}\lambda=\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\lambda=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}},\:\mu−\mathrm{2}\lambda=−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mu=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3x}−\mathrm{2}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\int\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int\left\{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}}\right\}\mathrm{dx} \\ $$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 11/Dec/20

∫−(1/(x−1))+(3/2)∫((2x−2)/(x^2 −2x+5))+∫(1/(x^2 −2x+5))dx =(3/2)log(x^2 −2x+5)−log(x−1)+(1/2)tan^(−1) ((x−1)/2)+C

$$\int−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}+\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{log}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right)−{log}\left({x}−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{C} \\ $$

Commented by Ar Brandon last updated on 11/Dec/20

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Answered by john_santu last updated on 11/Dec/20

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