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Question Number 125499 by mathmax by abdo last updated on 11/Dec/20

solve y^(′′) −4y^′ +7y =xe^(−x) sinx

$$\mathrm{solve}\:\:\mathrm{y}^{''} −\mathrm{4y}^{'} +\mathrm{7y}\:\:=\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinx} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 12/Dec/20

he)→r^2 −4r+7=0→Δ^′ =4−7=−3 ⇒r_1 =2+i(√3)and r_2 =2−i(√3) ⇒ y_h =ae^((2+i(√3))x) +b e^((2−i(√3))x) =e^(2x) {αcos((√3)x)+βsin((√3)x)} =α e^(2x) cos((√3)x)+β e^(2x) sin((√3)x)=αu_1 +βu_2 W(u_1 ,u_2 )= determinant (((e^(2x) cos((√3)x) e^(2x) sin((√3)x))),(((2cos((√3)x)−(√3)sin((√3)x)e^(2x) (2sin((√3)x)+(√3)cos((√3)x)e^(2x) ))) =e^(4x) { 2cos((√3)x)sin((√3)x)+(√3)cos^2 ((√3)x)}−e^(4x) {2cos((√3)x)sin((√3)x)−(√3)sin^2 ((√3)x)} =e^(4x) ((√3)) =(√3)e^(4x) ≠0 W_1 = determinant (((o e^(2x) sin((√3)x))),((xe^(−x) sinx (2sin((√3)x)+(√3)cos((√3)x))))=−xe^x sinx sin((√3)x) W_2 = determinant (((e^(2x) cos((√3)x) 0)),(((2cos((√3)x)−(√3)sin((√3)x)e^(2x) xe^(−x) sinx))) =xe^x sinx cos((√3)x) v_1 =∫ (w_1 /w)dx =−∫ ((xe^x sinx sin((√3)x))/( (√3)e^(4x) ))=−(1/( (√3)))∫ xe^(−3x) sinxsin((√3)x)dx v_2 = ∫ (w_2 /w)dx =∫ ((xe^x sinx cos((√3)x))/( (√3)e^(4x) ))dx=(1/( (√3)))∫x e^(−3x) sinx cos((√3)x)dx ⇒y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 =−(1/( (√3)))e^(2x) cos((√3)x)∫ x e^(−3x) sinx sin((√3)x)dx +(1/( (√3)))e^(2x) sin((√3)x)∫ xe^(−3x) sinx cos((√3)x)dx and general solution is y =y_h +y_p

$$\left.\mathrm{he}\right)\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4r}+\mathrm{7}=\mathrm{0}\rightarrow\Delta^{'} =\mathrm{4}−\mathrm{7}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{\left(\mathrm{2}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{2}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{x}} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left\{\alpha\mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)+\beta\mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$=\alpha\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)+\beta\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)=\alpha\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\beta\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)}\\{\left(\mathrm{2cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{2sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:\right.\right.}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \left\{\:\mathrm{2cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\right\}−\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \left\{\mathrm{2cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:=\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)}\\{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinx}\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{2sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\right.}\end{vmatrix}=−\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \mathrm{sinx}\:\mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{2cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinx}\right.}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sinx}\:\mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\frac{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sinx}\:\mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{3x}} \mathrm{sinxsin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\:\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \mathrm{sinx}\:\mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} }\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \mathrm{sinx}\:\mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\int\:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \mathrm{sinx}\:\mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\int\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{3x}} \:\mathrm{sinx}\:\mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{and}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$

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