Question Number 125737 by snipers237 last updated on 13/Dec/20
$$\:{Find}\:{C}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{1}+{e}^{−{u}} }\:{du} \\ $$$${Prove}\:{that}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \sqrt{\mathrm{1}+{x}^{{n}} }\:{dx}\:\underset{\infty} {\sim}\:\frac{{C}}{{n}}\: \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 13/Dec/20
![∫(√(1+e^(−u) ))du= [v=(√(1+e^(−u) )) → du=2(v/(1−v^2 ))dv] =∫(v^2 /(1−v^2 ))dv=∫(−2+(1/(v+1))−(1/(v−1)))dv= =−2v+ln ∣((v+1)/(v−1))∣ =... =−2(√(1+e^(−u) ))+2ln ((√e^u )+(√(1+e^u ))) +C now insert borders](Q125747.png)
$$\int\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−{u}} }{du}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{v}=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−{u}} }\:\rightarrow\:{du}=\mathrm{2}\frac{{v}}{\mathrm{1}−{v}^{\mathrm{2}} }{dv}\right] \\ $$$$=\int\frac{{v}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−{v}^{\mathrm{2}} }{dv}=\int\left(−\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{{v}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{v}−\mathrm{1}}\right){dv}= \\ $$$$=−\mathrm{2}{v}+\mathrm{ln}\:\mid\frac{{v}+\mathrm{1}}{{v}−\mathrm{1}}\mid\:=... \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−{u}} }+\mathrm{2ln}\:\left(\sqrt{\mathrm{e}^{{u}} }+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{{u}} }\right)\:+{C} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{insert}\:\mathrm{borders} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 13/Dec/20
![C =∫_0 ^1 (√(1+e^(−u) )) du changement (√(1+e^(−u) ))=t give 1+e^(−u) =t^2 ⇒ e^(−u) =t^2 −1 ⇒−u =ln(t^2 −1) ⇒u=−ln(t^2 −1) ⇒(du/dt)=−((2t)/(t^2 −1)) ⇒ C =−2∫_(√2) ^(√(1+e^(−1) )) (t^2 /(t^2 −1))dt =2 ∫_(√(1+e^(−1) )) ^(√2) ((t^2 −1+1)/(t^2 −1))dt =2((√2)−(√(1+e^(−1) ))) +∫_(√(1+e^(−1) )) ^(√2) ((1/(t−1))−(1/(t+1)))dt =2(√2)−2(√(1+e^(−1) )) +[ln∣((t−1)/(t+1))∣]_(√(1+e^(−1) )) ^(√2) =2(√2)−2(√(1+e^(−1) )) +ln((((√2)−1)/( (√2)+1)))−ln((((√(1+e^(−1) ))−1)/( (√(1+e^(−1) ))+1)))](Q125787.png)
$$\mathrm{C}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} }\:\mathrm{du}\:\:\:\mathrm{changement}\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} }=\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:\Rightarrow−\mathrm{u}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{u}=−\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}=−\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{C}\:=−\mathrm{2}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }} \:\:\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\:=\mathrm{2}\:\int_{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }\right)\:+\int_{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }\:+\left[\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }\:+\mathrm{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}\right)−\mathrm{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }+\mathrm{1}}\right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 13/Dec/20
![A_n =∫_1 ^(1+(1/n)) (√(1+x^n ))dx changement x=t+1 give A_n =∫_0 ^(1/n) (√(1+(t+1)^n ))dt but n→+∞ ⇒t→o and 1+(t+1)^n ∼1+nt ⇒A_n ∼ ∫_0 ^(1/n) (√(1+nt))dt changement (√(1+nt))=z give 1+nt =z^2 ⇒nt=z^2 −1 ⇒t =(1/n)(z^2 −1) ⇒ ∫_0 ^(1/n) (√(1+nt))dt =∫_1 ^(√2) z (1/n)(2z)dz =(2/n)∫_1 ^(√2) z^2 dz =(2/(3n))[z^3 ]_1 ^(√2) =(2/(3n))(2(√2)−1) ⇒ A_n ∼((4(√2)−1)/(3n)) we can take C =((4(√2)−1)/3)](Q125788.png)
$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} \sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }\mathrm{dx}\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}=\mathrm{t}+\mathrm{1}\:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} \sqrt{\mathrm{1}+\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\mathrm{dt}\:\:\:\:\mathrm{but}\:\mathrm{n}\rightarrow+\infty\:\Rightarrow\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{o}\:\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{1}+\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\sim\mathrm{1}+\mathrm{nt}\:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \sim\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} \sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{nt}}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{changement} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{nt}}=\mathrm{z}\:\mathrm{give}\:\mathrm{1}+\mathrm{nt}\:=\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{nt}=\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{t}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} \sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{nt}}\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \mathrm{z}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left(\mathrm{2z}\right)\mathrm{dz}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dz}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3n}}\left[\mathrm{z}^{\mathrm{3}} \right]_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3n}}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\mathrm{3n}}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{take}\:\mathrm{C}\:=\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 14/Dec/20
![sorry 1+(t+1)^n ∼2+nt ⇒A_n ∼∫_0 ^(1/n) (√(2+nt))dt we do the changement (√(2+nt))= u ⇒2+nt=u^2 ⇒nt=u^2 −2 ⇒t=(1/n)(u^2 −2) ⇒ ∫_0 ^(1/n) (√(2+nt))dt =∫_(√2) ^(√3) u×(2/n) u du =(2/n)∫_(√2) ^(√3) u^2 du =(2/(3n))[u^3 ]_(√2) ^(√3) =(2/(3n)){3(√3)−2(√2)} ⇒A_n ∼((6(√3)−4(√2))/(3n)) ⇒C=((6(√3)−4(√2))/3)](Q125810.png)
$$\mathrm{sorry}\:\mathrm{1}+\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\sim\mathrm{2}+\mathrm{nt}\:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \sim\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} \sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{nt}}\mathrm{dt}\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{nt}}=\:\mathrm{u}\:\Rightarrow\mathrm{2}+\mathrm{nt}=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{nt}=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} \sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{nt}}\mathrm{dt}\:=\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \:\mathrm{u}×\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\:\mathrm{u}\:\mathrm{du}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3n}}\left[\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \right]_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3n}}\left\{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right\}\:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3n}}\:\Rightarrow\mathrm{C}=\frac{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}} \\ $$