Question Number 126383 by Lordose last updated on 20/Dec/20
$$\mathrm{Evaluate}\:\Omega\:\mathrm{if} \\ $$$$\:\:\:\:\:\Omega\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{mx}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Dec/20
![I =∫_0 ^∞ ((cos(mx))/(x^4 +x^2 +1))dx ⇒2I =∫_(−∞) ^(+∞) ((cos(mx))/(x^4 +x^2 +1))dx=Re(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(imx) /(x^4 +x^2 +1))dx) let ϕ(z)=(e^(imz) /(z^4 +z^2 +1)) ]poles of ϕ? z^4 +z^2 +1=0 ⇒u^2 +u+1=0 (u=z^2 ) Δ=−3 ⇒u_1 =((−1+i(√3))/2)=e^((i2π)/3) and u_2 =((−1−i(√3))/2) =e^(−((i2π)/3)) ⇒ ϕ(z)=(e^(imz) /((z^2 −e^((i2π)/3) )(z^2 −e^(−((i2π)/3)) ))) =(e^(imz) /((z−e^((iπ)/3) )(z+e^((iπ)/3) )(z−e^(−((iπ)/3)) )(z+e^(−((iπ)/3)) ))) residus theorem give ∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ{ Res(ϕ,e^((iπ)/3) )+Res(ϕ,−e^(−((iπ)/3)) )} Res(ϕ,e^((iπ)/3) ) =(e^(ime^((iπ)/3) ) /(2e^((iπ)/3) (2isin((π/3))))) =(1/(4i×((√3)/2))) e^(−((iπ)/3)) e^(im((1/2)+((i(√3))/2))) =(1/(2i(√3))) e^(i((m/2)−(π/3))) e^(−((√3)/2)m) Res(ϕ,−e^(−((iπ)/3)) ) =(e^(ime^(−((iπ)/3)) ) /(−2e^(−((iπ)/3)) (−2isin(((2π)/3))))) =(1/(2i(√3))) e^((iπ)/3) e^(im((1/2)−((i(√3))/2))) =(1/(2i(√3))) e^(i((m/2)+(π/3))) e^(((√3)/2)m) ⇒ ∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ×(1/(2i(√3))){ e^(−((√3)/2)m) e^(i((m/2)−(π/3))) +e^(((√3)/2)m) e^(i((m/2)+(π/3))) } =(π/( (√3))){e^(−((m(√3))/2)) (cos((m/2)−(π/3))+i sin((m/2)−(π/3))) +e^((m(√3))/2) ( cos((m/2)+(π/3))+isin((m/2)+(π/3)))} ⇒ I =(1/2)Re(∫...)=(π/( 2(√3))){ e^(−((m(√3))/2)) cos((m/2)−(π/3))+e^((m(√3))/(2 )) cos((m/2)+(π/3))}](Q126439.png)
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{mx}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{2I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{mx}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{imx}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{imz}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\right]\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi? \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{u}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{u}=\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Delta=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{imz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{imz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)} \\ $$$$\mathrm{residus}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{give}\: \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)+\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ime}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } }{\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{im}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}−\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)} \:\mathrm{e}^{−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{m}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ime}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } }{−\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \left(−\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{im}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)} \:\mathrm{e}^{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{m}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{m}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}−\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)} \:+\mathrm{e}^{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{m}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)} \right\} \\ $$$$=\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{m}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}−\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}−\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{m}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left(\:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Re}\left(\int...\right)=\frac{\pi}{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{m}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}−\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{m}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\:}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\right\} \\ $$$$ \\ $$