Question Number 127045 by benjo_mathlover last updated on 26/Dec/20 | ||
$$\:\:\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{1}°+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}°+\mathrm{cos}\:\mathrm{3}°+...+\mathrm{cos}\:\mathrm{44}°}{\mathrm{sin}\:\mathrm{1}°+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}°+\mathrm{sin}\:\mathrm{3}°+...+\mathrm{sin}\:\mathrm{44}°}\:=? \\ $$ | ||
Answered by liberty last updated on 26/Dec/20 | ||
$$\:\frac{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{22}.\mathrm{5}°−\mathrm{21}.\mathrm{5}°\right)+\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{22}.\mathrm{5}°−\mathrm{20}.\mathrm{5}°\right)+...+\mathrm{cos}\left(\mathrm{22}.\mathrm{5}°+\mathrm{20}.\mathrm{5}°\right)+\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{22}.\mathrm{5}°+\mathrm{21}.\mathrm{5}°\right)\:}{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{22}.\mathrm{5}°−\mathrm{21}.\mathrm{5}°\right)+\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{22}.\mathrm{5}°−\mathrm{20}.\mathrm{5}°\right)+...+\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{22}.\mathrm{5}°+\mathrm{20}.\mathrm{5}°\right)+\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{22}.\mathrm{5}+\mathrm{21}.\mathrm{5}°\right)}\:= \\ $$$$\frac{\mathrm{2cos}\:\mathrm{22}.\mathrm{5}°\mathrm{cos}\:\mathrm{21}.\mathrm{5}°+\mathrm{2cos}\:\mathrm{22}.\mathrm{5}°\mathrm{cos}\:\mathrm{20}.\mathrm{5}°+...+\mathrm{2cos}\:\mathrm{22}.\mathrm{5}°\mathrm{cos}\:\mathrm{0}.\mathrm{5}°}{\mathrm{2sin}\:\mathrm{22}.\mathrm{5}°\mathrm{cos}\:\mathrm{21}.\mathrm{5}°+\mathrm{2sin}\:\mathrm{22}.\mathrm{5}°\mathrm{cos}\:\mathrm{20}.\mathrm{5}°+...+\mathrm{2sin}\:\mathrm{22}.\mathrm{5}°\mathrm{cos}\:\mathrm{0}.\mathrm{5}°}\:= \\ $$$$\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{22}.\mathrm{5}°\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{21}.\mathrm{5}°+\mathrm{cos}\:\mathrm{20}.\mathrm{5}°+...+\mathrm{cos}\:\mathrm{0}.\mathrm{5}°\right)}{\mathrm{sin}\:\mathrm{22}.\mathrm{5}°\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{21}.\mathrm{5}°+\mathrm{cos}\:\mathrm{20}.\mathrm{5}°+...+\mathrm{cos}\:\mathrm{0}.\mathrm{5}°\right)}\:= \\ $$$$\mathrm{cot}\:\mathrm{22}.\mathrm{5}°\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\left(\pi/\mathrm{8}\right)} \\ $$ | ||
Commented by benjo_mathlover last updated on 26/Dec/20 | ||
$${yes}...{thanks} \\ $$ | ||
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 26/Dec/20 | ||
$$\frac{{cos}\mathrm{1}°+{cos}\mathrm{2}°+{cos}\mathrm{3}°+...+{cos}\mathrm{44}°}{{sin}\mathrm{1}°+{sin}\mathrm{2}°+...+{sin}\mathrm{44}°} \\ $$$$=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{sin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}°}\left({sin}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}°−{sin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}°+{sin}\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}°−{sin}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}°+{sin}\frac{\mathrm{89}}{\mathrm{2}}°−{sin}\frac{\mathrm{87}}{\mathrm{2}}°\right)}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{sin}\frac{\mathrm{1}°}{\mathrm{2}}}\left({cos}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}°−{cos}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}°+{cos}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}°−{cos}\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}°+...+{cos}\frac{\mathrm{87}}{\mathrm{2}}°−{cos}\frac{\mathrm{89}}{\mathrm{2}}°\right)} \\ $$$$=\frac{{sin}\frac{\mathrm{89}}{\mathrm{2}}°−{sin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}°}{{cos}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}°−{cos}\frac{\mathrm{89}}{\mathrm{2}}°}=\frac{\mathrm{2}{cos}\frac{\pi}{\mathrm{8}}{sin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}°}{\mathrm{2}{sin}\frac{\pi}{\mathrm{8}}{sin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}°}=\sqrt{\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}}=\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$ | ||