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Question Number 127064 by benjo_mathlover last updated on 26/Dec/20

$$(D^2-1)y=x\sin x$$

Answered by liberty last updated on 26/Dec/20

$$Thecharacteristiceqof(D^2-1)y=0$$$$is{\lambda }^2-1=0,hastheroots\lambda =\pm 1$$$$y_h={Ae}^{-x}+{Be}^x$$$$y_p=\frac{x\sin x}{D^2-1}=x\frac{\sin x}{D^2-1}-\frac{2D\sin x}{{(D^2-1)}^2}$$$$y_p=\frac{x\sin x}{-{\left(1\right)}^2-1}-\frac{2\cos x}{{(D^2-1)}^2}$$$$y_p=-\frac{1}{2}x\sin x-\frac{2\cos x}{{(-1^2-1)}^2}$$$$y_p=-\frac{1}{2}x\sin x-\frac{1}{2}\cos x$$$$\therefore y={Ae}^{-x}+{Be}^x-\frac{1}{2}(x\sin x+\cos x)$$$$$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Dec/20

$${\mathrm{y}}^{{}^{″}}-\mathrm{y}=\mathrm{xsinx}$$$$\mathrm{h}\to {\mathrm{r}}^2-1=0\Rightarrow \mathrm{r}=\stackrel{-}{+}1\Rightarrow {\mathrm{y}}_{\mathrm{h}}={\mathrm{ae}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{be}}^{-\mathrm{x}}={\mathrm{au}}_1+{\mathrm{bu}}_2$$$$\mathrm{w}({\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2)=\left|\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\end{array}\right|=-2\ne 0$$$${\mathrm{w}}_1=\left|\begin{array}{c}\mathrm{o}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\\ \mathrm{xsinx}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\end{array}\right|=-{\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{sinx}$$$${\mathrm{w}}_2=\left|\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}0\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{xsinx}\end{array}\right|={\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\mathrm{sinx}$$$${\mathrm{v}}_1=\int \frac{{\mathrm{w}}_1}{\mathrm{w}}\mathrm{dx}=\frac{1}{2}\int {\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{sinx}\mathrm{dx}=\frac{1}{2}\mathrm{Im}(\int {\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}+\mathrm{ix}}\mathrm{dx})\mathrm{we}\mathrm{have}$$$$\int {\mathrm{xe}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}}{-1+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}-\int \frac{1}{-1+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}\mathrm{dx}$$$$=\frac{-\mathrm{x}}{1-\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}+\frac{1}{1-\mathrm{i}}\times \frac{1}{-1+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}$$$$=(\frac{-\mathrm{x}}{1-\mathrm{i}}-\frac{1}{{(1-\mathrm{i})}^2}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}(\mathrm{cosx}+\mathrm{isinx})$$$$=(\frac{-\mathrm{x}(1+\mathrm{i})}{2}-\frac{1}{-2\mathrm{i}}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}(\mathrm{cosx}+\mathrm{isinx})$$$$=(\frac{-\mathrm{x}}{2}-\frac{\mathrm{ix}}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}(\mathrm{cosx}+\mathrm{isinx})$$$$=-\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{2}(\mathrm{x}+\mathrm{i}(\mathrm{x}+1))(\mathrm{cosx}+\mathrm{isinx})$$$$=-\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{2}\{\mathrm{xcosx}+\mathrm{ix}\mathrm{sinx}+\mathrm{i}(\mathrm{x}+1)\mathrm{cosx}-(\mathrm{x}+1)\mathrm{sinx})\Rightarrow$$$${\mathrm{v}}_1=-\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{4}(\mathrm{xsinx}+(\mathrm{x}+1)\mathrm{cosx})$$$${\mathrm{v}}_2=\int \frac{{\mathrm{w}}_2}{\mathrm{w}}\mathrm{dx}=-\frac{1}{2}\int \mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{sinx}\mathrm{dx}=-\frac{1}{2}\mathrm{Im}(\int {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}+\mathrm{ix}}\mathrm{dx})$$$$=-\frac{1}{2}\mathrm{Im}(\int {\mathrm{xe}}^{(1+\mathrm{i})\mathrm{x}}\mathrm{dx})\mathrm{by}\mathrm{parts}$$$$\int {\mathrm{xe}}^{(1+\mathrm{i})\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\frac{1}{1+\mathrm{i}}\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})\mathrm{x}}-\int \frac{1}{1+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})\mathrm{x}}\mathrm{dx}$$$$=\frac{1-\mathrm{i}}{2}{\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})\mathrm{x}}-\frac{1}{{(1+\mathrm{i})}^2}{\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})\mathrm{x}}=(\frac{1-\mathrm{i}}{2}-\frac{1}{2\mathrm{i}}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\mathrm{cosx}+\mathrm{isinx})$$$$...\mathrm{rest}\mathrm{to}\mathrm{extract}\mathrm{im}(...)\Rightarrow {\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}={\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2\mathrm{and}\mathrm{general}\mathrm{solution}$$$$\mathrm{is}\mathrm{y}={\mathrm{y}}_{\mathrm{h}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}$$

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