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Question Number 127064 by benjo_mathlover last updated on 26/Dec/20

(D^2 −1)y = x sin x

$$\:\:\:\left({D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){y}\:=\:{x}\:\mathrm{sin}\:{x}\: \\ $$

Answered by liberty last updated on 26/Dec/20

The characteristic eq of (D^2 −1)y = 0 is λ^2 −1=0 , has the roots λ=±1 y_h = Ae^(−x) + Be^x y_p = ((x sin x)/(D^2 −1)) = x ((sin x)/(D^2 −1))−((2D sin x)/((D^2 −1)^2 )) y_p = ((x sin x)/(−(1)^2 −1))−((2 cos x)/((D^2 −1)^2 )) y_p = −(1/2)x sin x−((2 cos x)/((−1^2 −1)^2 )) y_p =−(1/2)x sin x −(1/2)cos x ∴ y = Ae^(−x) +Be^x −(1/2)(x sin x+cos x)

$$\:{The}\:{characteristic}\:{eq}\:{of}\:\left({D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){y}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$${is}\:\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\:,\:{has}\:{the}\:{roots}\:\lambda=\pm\mathrm{1} \\ $$$${y}_{{h}} \:=\:{Ae}^{−{x}} +\:{Be}^{{x}} \: \\ $$$${y}_{{p}} \:=\:\frac{{x}\:\mathrm{sin}\:{x}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\:{x}\:\frac{\mathrm{sin}\:{x}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}{D}\:\mathrm{sin}\:{x}}{\left({D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${y}_{{p}} =\:\frac{{x}\:\mathrm{sin}\:{x}}{−\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:{x}}{\left({D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${y}_{{p}} =\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}\:\mathrm{sin}\:{x}−\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:{x}}{\left(−\mathrm{1}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${y}_{{p}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}\:\mathrm{sin}\:{x}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:{x}\: \\ $$$$\therefore\:{y}\:=\:{Ae}^{−{x}} +{Be}^{{x}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({x}\:\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{cos}\:{x}\right)\: \\ $$$$ \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Dec/20

y^(′′) −y=xsinx h→r^2 −1=0 ⇒r=+^− 1 ⇒y_h =ae^x +be^(−x) =au_1 +bu_2 w(u_1 ,u_2 )= determinant (((e^x e^(−x) )),((e^x −e^(−x) )))=−2 ≠0 w_1 = determinant (((o e^(−x) )),((xsinx −e^(−x) )))=−xe^(−x) sinx w_2 = determinant (((e^x 0)),((e^x xsinx)))=xe^x sinx v_1 =∫ (w_1 /w)dx =(1/2)∫ xe^(−x) sinx dx =(1/2)Im(∫ xe^(−x+ix) dx) we have ∫ xe^((−1+i)x) dx =(x/(−1+i))e^((−1+i)x) −∫ (1/(−1+i))e^((−1+i)x) dx =((−x)/(1−i))e^((−1+i)x) +(1/(1−i))×(1/(−1+i))e^((−1+i)x) =(((−x)/(1−i))−(1/((1−i)^2 )))e^(−x) (cosx +isinx) =(((−x(1+i))/2)−(1/(−2i)))e^(−x) (cosx +isinx) =(((−x)/2)−((ix)/2)−(i/2))e^(−x) (cosx +isinx) =−(e^(−x) /2)(x+i(x+1))(cosx +isinx) =−(e^(−x) /2){xcosx +ix sinx +i(x+1)cosx −(x+1)sinx) ⇒ v_1 =−(e^(−x) /4)( xsinx +(x+1)cosx) v_2 =∫ (w_2 /w)dx =−(1/2)∫ x e^x sinx dx =−(1/2) Im(∫ xe^(x+ix) dx) =−(1/2) Im(∫ xe^((1+i)x) dx) by parts ∫ xe^((1+i)x) dx =(1/(1+i))x e^((1+i)x) −∫(1/(1+i))e^((1+i)x) dx =((1−i)/2) e^((1+i)x) −(1/((1+i)^2 ))e^((1+i)x) =(((1−i)/2)−(1/(2i)))e^x (cosx +isinx) ...rest to extract im(...) ⇒y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 and general solution is y =y_h +y_p

$$\mathrm{y}^{''} −\mathrm{y}=\mathrm{xsinx} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}=\overset{−} {+}\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{2}\:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{xsinx}\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{sinx} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{xsinx}}\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sinx} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{sinx}\:\mathrm{dx}\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Im}\left(\int\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}+\mathrm{ix}} \mathrm{dx}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int\:\mathrm{xe}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:\:=\frac{\mathrm{x}}{−\mathrm{1}+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} −\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{1}+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{i}}×\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{1}+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$=\left(\frac{−\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{i}}−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{isinx}\right) \\ $$$$=\left(\frac{−\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{2i}}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{isinx}\right) \\ $$$$=\left(\frac{−\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{ix}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{isinx}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\right)\left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{isinx}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{xcosx}\:+\mathrm{ix}\:\mathrm{sinx}\:+\mathrm{i}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{cosx}\:−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{sinx}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{4}}\left(\:\mathrm{xsinx}\:+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{cosx}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sinx}\:\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{Im}\left(\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}+\mathrm{ix}} \mathrm{dx}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{Im}\left(\int\:\mathrm{xe}^{\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\right)\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\: \\ $$$$\int\:\mathrm{xe}^{\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{i}}\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} −\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} −\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \:=\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{isinx}\right) \\ $$$$...\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{extract}\:\mathrm{im}\left(...\right)\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$

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