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Question Number 127358 by Fareed last updated on 29/Dec/20

lim(((a^(x+1) +b^(x+1) +c^(x+1) )/(a+b+c)))^(1/x) =? x⇒0

$$ \\ $$$$\mathrm{lim}\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{b}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{c}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} }{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} =? \\ $$$$\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{0} \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 29/Dec/20

Ψ=lim_(x→0) (((a^(x+1) +b^(x+1) +c^(x+1) )/(a+b+c)))^(1/x) lnΨ=lim_(x→0) (1/x)ln(((a^(x+1) +b^(x+1) +c^(x+1) )/(a+b+c)))=(1/0)ln(((a+b+c)/(a+b+c)))=(0/0) =lim_(x→0) {((a^(x+1) lna+b^(x+1) lnb+c^(x+1) lnc)/(a+b+c))∙((a+b+c)/(a^(x+1) +b^(x+1) +c^(x+1) ))} =((alna+blnb+clnc)/(a+b+c)) Ψ=e^((alna+blnb+clnc)/(a+b+c))

$$\Psi=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{b}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{c}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} }{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \\ $$$$\mathrm{ln}\Psi=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{b}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{c}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} }{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{0}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}\right)=\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left\{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \mathrm{lna}+\mathrm{b}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \mathrm{lnb}+\mathrm{c}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \mathrm{lnc}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}\centerdot\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{a}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{b}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{c}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} }\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{alna}+\mathrm{blnb}+\mathrm{clnc}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\Psi=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{alna}+\mathrm{blnb}+\mathrm{clnc}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}} \\ $$

Commented by Study last updated on 29/Dec/20

whear is the (1/x) dirivation???

$${whear}\:{is}\:{the}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\:{dirivation}??? \\ $$

Commented by Study last updated on 29/Dec/20

??????

$$?????? \\ $$

Commented by Ar Brandon last updated on 29/Dec/20

lim_(x→0) ((f(x))/(g(x)))=(0/0) ⇒ lim_(x→0) ((f(x))/(g(x)))=lim_(x→0) ((f ′(x))/(g′(x))) lim_(x→0) (1/x)ln(((a^(x+1) +b^(x+1) +c^(x+1) )/(a+b+c)))=lim_(x→0) ((ln′(((a^(x+1) +b^(x+1) +c^(x+1) )/(a+b+c))))/(x′))

$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}}\:\Rightarrow\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}'\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{b}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{c}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} }{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}\right)=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}'\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{b}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{c}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} }{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{x}'} \\ $$

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