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Question Number 127772 by Bird last updated on 02/Jan/21

calculate ∫_0 ^(2π) (dx/((cosx +2sinx)^2 ))

$${calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\:\frac{{dx}}{\left({cosx}\:+\mathrm{2}{sinx}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 02/Jan/21

I =∫_0 ^(2π) (dx/((cosx +2sinx)^2 )) ⇒I =∫_0 ^(2π) (dx/(cos^2 x+4sinx cosx +4sin^2 x)) =∫_0 ^(2π) (dx/(1+4sinxcosx +3sin^2 x)) =∫_0 ^(2π) (dx/(1+2sin(2x)+3((1−cos(2x))/2))) =∫_0 ^(2π) ((2dx)/(2+4sin(2x)+3−3cos(2x)))=∫_0 ^(2π) ((2dx)/(5+4sin(2x)−3cos(2x))) =_(2x=t) ∫_0 ^(4π) (dt/(5+4sint −3cost)) =∫_0 ^(2π) (dt/(4sint−3cost+5)) +∫_(2π) ^(4π) (dt/(4sint−3cost +5))(→t=2π+u) =2∫_0 ^(2π) (dt/(4sint−3cost +5)) =_(e^(it) =z) 2∫_(∣z∣=1) (dz/(iz(4((z−z^(−1) )/(2i))−3((z+z^(−1) )/2)+5))) =2 ∫_(∣z∣=1) (dz/(iz((2/i)(z−z^(−1) )−(3/2)(z+z^(−1) )+5))) =−2i∫_(∣z∣=1) (dz/((2/i)(z^2 −1)−(3/2)(z^2 +1)+5z)) =2∫_(∣z∣=1) (dz/(2(z^2 −1)−(3/2)i(z^2 +1)+5iz)) =4∫_(∣z∣=1) (dz/(4(z^2 −1)−3iz^2 −3i+10iz)) =4 ∫_(∣z∣=1) (dz/(4z^2 −4−3iz^2 −3i+10iz)) =4∫_(∣z∣=1) (dz/((4−3i)z^2 +10iz−4−3i)) poles of w(z)=(1/((4−3i)z^2 +10iz −4−3i)) Δ^′ =(5i)^2 +(4−3i)(4+3i) =−25+16+9=0 →one root z_0 =−(b^′ /a) =−((5i)/(4−3i)) =−((5i(4+3i))/(25)) =−((4i−15)/5) ⇒ w(z) =(1/((4−3i)(z−z_0 )^2 )) ⇒∫_(∣z∣=1) w(z)dz =2iπ Res(w,z_0 ) ∣z_0 ∣=(1/5)(√(4^2 +15^2 ))>1 ⇒Res(w,z_0 )=0 ⇒ I =0

$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{2sinx}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{4sinx}\:\mathrm{cosx}\:+\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{4sinxcosx}\:+\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{3}\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\:\frac{\mathrm{2dx}}{\mathrm{2}+\mathrm{4sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{3}−\mathrm{3cos}\left(\mathrm{2x}\right)}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{2dx}}{\mathrm{5}+\mathrm{4sin}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{3cos}\left(\mathrm{2x}\right)} \\ $$$$\underset{\mathrm{2x}=\mathrm{t}} {=}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{5}+\mathrm{4sint}\:−\mathrm{3cost}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{4sint}−\mathrm{3cost}+\mathrm{5}}\:+\int_{\mathrm{2}\pi} ^{\mathrm{4}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{4sint}−\mathrm{3cost}\:+\mathrm{5}}\left(\rightarrow\mathrm{t}=\mathrm{2}\pi+\mathrm{u}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{4sint}−\mathrm{3cost}\:+\mathrm{5}}\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{it}} \:=\mathrm{z}} \:\:\mathrm{2}\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{iz}\left(\mathrm{4}\frac{\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2i}}−\mathrm{3}\frac{\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{5}\right)} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{iz}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{i}}\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} \right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} \right)+\mathrm{5}\right)} \\ $$$$=−\mathrm{2i}\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{i}}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)+\mathrm{5z}} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)+\mathrm{5iz}}\:=\mathrm{4}\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{3iz}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3i}+\mathrm{10iz}} \\ $$$$=\mathrm{4}\:\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{4z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}−\mathrm{3iz}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3i}+\mathrm{10iz}} \\ $$$$=\mathrm{4}\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\left(\mathrm{4}−\mathrm{3i}\right)\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10iz}−\mathrm{4}−\mathrm{3i}} \\ $$$$\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{4}−\mathrm{3i}\right)\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{10iz}\:−\mathrm{4}−\mathrm{3i}} \\ $$$$\Delta^{'} \:=\left(\mathrm{5i}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{4}−\mathrm{3i}\right)\left(\mathrm{4}+\mathrm{3i}\right)\:=−\mathrm{25}+\mathrm{16}+\mathrm{9}=\mathrm{0}\:\rightarrow\mathrm{one}\:\mathrm{root} \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{0}} =−\frac{\mathrm{b}^{'} }{\mathrm{a}}\:=−\frac{\mathrm{5i}}{\mathrm{4}−\mathrm{3i}}\:=−\frac{\mathrm{5i}\left(\mathrm{4}+\mathrm{3i}\right)}{\mathrm{25}}\:=−\frac{\mathrm{4i}−\mathrm{15}}{\mathrm{5}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{4}−\mathrm{3i}\right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{0}} \right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},\mathrm{z}_{\mathrm{0}} \right) \\ $$$$\:\:\:\mid\mathrm{z}_{\mathrm{0}} \mid=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{15}^{\mathrm{2}} }>\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},\mathrm{z}_{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\mathrm{0} \\ $$

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