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Question Number 127835 by bemath last updated on 02/Jan/21

$$\mathrm{If}\underset{\mathrm{k}=1}{\prod ^{10}}\cos \left(\frac{\mathrm{k}\pi }{11}\right)=-2^{\mathrm{n}},\mathrm{then}\mathrm{n}=?$$$$$$

Answered by liberty last updated on 02/Jan/21

$$\mathrm{let}\mathrm{Y}=\cos \mathrm{x}\cos 2\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 4\mathrm{x}$$$$\cos 5\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}\cos 7\mathrm{x}\cos 8\mathrm{x}$$$$\cos 9\mathrm{x}\cos 10\mathrm{x};\mathrm{where}\mathrm{x}=\frac{\pi }{11}$$$$\Rightarrow 2\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=\sin 2\mathrm{x}\cos 2\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 4\mathrm{x}$$$$\cos 5\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}\cos 7\mathrm{x}\cos 8\mathrm{x}$$$$\cos 9\mathrm{x}\cos 10\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^2\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=\sin 4\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 4\mathrm{x}\cos 5\mathrm{x}$$$$\cos 6\mathrm{x}\cos 7\mathrm{x}\cos 8\mathrm{x}\cos 9\mathrm{x}\cos 10\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^3\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=\sin 8\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 5\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}$$$$\cos 7\mathrm{x}\cos 8\mathrm{x}\cos 9\mathrm{x}\cos 10\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^4\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=\sin 16\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 5\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}$$$$\cos 7\mathrm{x}\cos 9\mathrm{x}\cos 10\mathrm{x}$$$$\mathrm{note}\sin 16\mathrm{x}=\sin \left(\frac{16\pi }{11}\right)=\sin (\pi +\frac{5\pi }{11})=-\sin 5\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^4\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=-\sin 5\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 5\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}$$$$\cos 7\mathrm{x}\cos 9\mathrm{x}\cos 10\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^5\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=-\sin 10\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}\cos 7\mathrm{x}\cos 9\mathrm{x}\cos 10\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^6\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=-\sin 20\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}\cos 7\mathrm{x}\cos 9\mathrm{x}$$$$\mathrm{note}\sin 20\mathrm{x}=\sin (\pi +\frac{9\pi }{11})=-\sin 9\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^6\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=\sin 9\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}\cos 7\mathrm{x}\cos 9\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^7\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=\sin 18\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}\cos 7\mathrm{x}$$$$\mathrm{note}\sin 18\mathrm{x}=\sin (\pi +\frac{7\pi }{11})=-\sin 7\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^7\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=-\sin 7\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}\cos 7\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^8\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=-\sin 14\mathrm{x}\cos 3\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}$$$$\mathrm{note}\sin 14\mathrm{x}=\sin (\pi +\frac{3\pi }{11})=-\sin 3\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^9\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=\sin 6\mathrm{x}\cos 6\mathrm{x}$$$$\Rightarrow 2^{10}\mathrm{Ysin}\mathrm{x}=\sin 12\mathrm{x}$$$$\therefore \mathrm{Y}=\frac{\sin (\pi +\frac{\pi }{11})}{2^{10}\sin \left(\frac{\pi }{11}\right)}=\frac{-\sin \left(\frac{\pi }{11}\right)}{2^{10}\sin \left(\frac{\pi }{11}\right)}$$$$\mathrm{Y}=-2^{-10},\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{n}=-10.$$$$$$

Commented by bemath last updated on 02/Jan/21

$$\mathrm{greatt}...$$

Commented by bemath last updated on 02/Jan/21

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