Question Number 127876 by Ar Brandon last updated on 02/Jan/21
$$\mathrm{Consider}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{by}:\:\mathrm{0}<\mathrm{u}_{\mathrm{0}} <\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N},\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{u}_{\mathrm{n}} −\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} . \\ $$ $$\mathrm{1}.\:\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)\:\mathrm{converges}.\:\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{its}\:\mathrm{limit}\:? \\ $$ $$\mathrm{2}.\:\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{series}\:\mathrm{with}\:\mathrm{general}\:\mathrm{term}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \:\mathrm{converges}. \\ $$ $$\mathrm{3}.\:\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{series}\:\mathrm{with}\:\mathrm{general}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{diverge}. \\ $$