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Question Number 127948 by rs4089 last updated on 03/Jan/21

Answered by mathmax by abdo last updated on 04/Jan/21

A_N =∫_0 ^∞ ((e^(2πx) −1)/(e^(2πx) +1))((1/x)−(x/(N^2 +x^2 )))dx ⇒ A_N =∫_0 ^∞ ((e^(πx) −e^(−πx) )/(e^(πx) +e^(−πx) ))(((N^2 +x^2 −x^2 )/(x(N^2 +x^2 ))))dx =N^2 ∫_0 ^∞ ((sh(x))/(xch(x)(x^2 +N^2 )))dx =(N^2 /2)∫_(−∞) ^(+∞) ((shx)/(xch(x)(x^2 +N^2 )))dx let ϕ(z)=((shz)/(xch(z)(z^2 +N^2 ))) ⇒ ϕ(z)=((th(z))/(z(z^2 +N^2 ))) the poles of ϕ are 0,+^− iN residus ⇒ ∫_R ϕ(z)dz =2iπ { Res(ϕ,o)+Res(ϕ,iN)} Res(ϕ,o)=0 Res(ϕ,iN) =((th(iN))/(2iN)) =((sh(iN))/(2iNch(iN))) sh(iN) =((e^(iN) −e^(−iN) )/2) =isinN ch(iN) =((e^(iN) +e^(−iN) )/2) =cosN ⇒∫_R ϕ(z)dz =2iπ×((isinN)/(2iNcosN)) =iπtan(N) ⇒A_N =((πN^2 )/2)itan(N) but my answer is not sure if A_N is real...!

$$\mathrm{A}_{\mathrm{N}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2}\pi\mathrm{x}} −\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2}\pi\mathrm{x}} +\mathrm{1}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{N}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{N}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{e}^{\pi\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\pi\mathrm{x}} }{\mathrm{e}^{\pi\mathrm{x}} \:+\mathrm{e}^{−\pi\mathrm{x}} }\left(\frac{\mathrm{N}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}\left(\mathrm{N}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{N}^{\mathrm{2}} \int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{xch}\left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{N}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{N}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{shx}}{\mathrm{xch}\left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{N}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{shz}}{\mathrm{xch}\left(\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{N}^{\mathrm{2}} \right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{th}\left(\mathrm{z}\right)}{\mathrm{z}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{N}^{\mathrm{2}} \right)}\:\mathrm{the}\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi\:\mathrm{are}\:\mathrm{0},\overset{−} {+}\mathrm{iN}\:\:\mathrm{residus}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\left\{\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{o}\right)+\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{iN}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{o}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{iN}\right)\:=\frac{\mathrm{th}\left(\mathrm{iN}\right)}{\mathrm{2iN}}\:=\frac{\mathrm{sh}\left(\mathrm{iN}\right)}{\mathrm{2iNch}\left(\mathrm{iN}\right)} \\ $$$$\mathrm{sh}\left(\mathrm{iN}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iN}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{iN}} }{\mathrm{2}}\:=\mathrm{isinN} \\ $$$$\mathrm{ch}\left(\mathrm{iN}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iN}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{iN}} }{\mathrm{2}}\:=\mathrm{cosN}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\mathrm{isinN}}{\mathrm{2iNcosN}} \\ $$$$=\mathrm{i}\pi\mathrm{tan}\left(\mathrm{N}\right)\:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{N}} =\frac{\pi\mathrm{N}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{itan}\left(\mathrm{N}\right)\:\:\mathrm{but}\:\mathrm{my}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{sure} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{A}_{\mathrm{N}} \mathrm{is}\:\mathrm{real}...! \\ $$

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