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Question Number 128109 by bemath last updated on 04/Jan/21

∅ = ∫ (x−2) (√((x+1)/(x−1))) dx

$$\emptyset\:=\:\int\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\:\sqrt{\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$

Answered by liberty last updated on 04/Jan/21

φ = ∫ (((x−2)(√(x^2 −1)))/(x−1)) dx let x = sec t ∅ = ∫ (((sec t−2).tan t)/(sec t−1)). (sec t tan t ) dt φ = ∫ (((((1−2cos t)/(cos t))).((sin^2 t)/(cos^3 t)))/((1−cos t)/(cos t))) dt φ = ∫ (((1−2cos t)sin^2 t)/(cos^3 t (1−cos t))) dt φ = ∫ (((1−2cos t)(1−cos^2 t))/(cos^3 t(1−cos t))) dt φ = ∫ (((1−2cos t)(1+cos t))/(cos^3 t)) dt φ = ∫ ((1−cos t−2cos^2 t)/(cos^3 t)) dt ∅ = ∫ sec^3 t dt−∫sec^2 t dt−2∫sec t dt ∅ = (1/2)sec t tan t +(1/2)ln ∣sec t+tan t∣−tan t−2ln ∣sec t+tan t∣ +C φ= (1/2)x(√(x^2 −1)) −(√(x^2 −1))−(3/2)ln ∣x+(√(x^2 −1)) ∣ +C φ = (((x−1)(√(x^2 −1)))/2)−(3/2)ln ∣x+(√(x^2 −1)) ∣ + C

$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\:\mathrm{let}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\: \\ $$$$\:\emptyset\:=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{t}−\mathrm{2}\right).\mathrm{tan}\:\mathrm{t}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{t}−\mathrm{1}}.\:\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{t}\:\right)\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{t}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{t}}\right).\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{t}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{t}}}\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{t}\right)\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{t}\right)}\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\right)}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{t}\right)}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{t}\right)}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{t}−\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\:\emptyset\:=\:\int\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}\:\mathrm{dt}−\int\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\:\mathrm{dt}−\mathrm{2}\int\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\:\emptyset\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{t}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:\mathrm{t}+\mathrm{tan}\:\mathrm{t}\mid−\mathrm{tan}\:\mathrm{t}−\mathrm{2ln}\:\mid\mathrm{sec}\:\mathrm{t}+\mathrm{tan}\:\mathrm{t}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$\:\phi=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$\:\phi\:=\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\mid\:+\:\mathrm{C} \\ $$

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