Question Number 128251 by rs4089 last updated on 05/Jan/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 05/Jan/21
![let I =∫_(−∞) ^(+∞) x^2 e^(−x^2 ) cosx dx ⇒I =∫_(−∞) ^(+∞) xe^(−x^2 ) (xcosx)dx by psrts u^′ =xe^(−x^2 ) and v=xcosx ⇒I =[−(1/2)e^(−x^2 ) xcosx]_(−∞) ^(+∞) +(1/2)∫_(−∞) ^(+∞) e^(−x^2 ) (cosx−xsinx)dx =(1/2) ∫_(−∞) ^(+∞) e^(−x^2 ) cosx dx−(1/2)∫_(−∞) ^(+∞) xe^(−x^2 ) sinx dx ∫_(−∞) ^(+∞) e^(−x^2 ) cosx dx = Re(∫_(−∞) ^(+∞) e^(−x^2 +ix) dx) and ∫_(−∞) ^(+∞) e^(−x^2 +ix) dx =∫_(−∞) ^(+∞) e^(−(x^2 −2(i/2)x −(1/4)+(1/4))) dx=∫_(−∞) ^(+∞) e^(−(x−(i/2))^2 −(1/4)) dx =_(x−(i/2)=t) e^(−(1/4)) ∫_(−∞) ^(+∞) e^(−t^2 ) dt =(√π)e^(−(1/4)) =∫_(−∞) ^(+∞) e^(−x^2 ) cosx dx by parts ∫_(−∞) ^(+∞) x e^(−x^2 ) sinx dx =[−(1/2)e^(−x^2 ) sinx]_(−∞) ^(+∞) +(1/2)∫_(−∞) ^(+∞) e^(−x^2 ) cosx dx=((√π)/2)e^(−(1/4)) ⇒ I =((√π)/2)e^(−(1/4)) −((√π)/4) e^(−(1/4)) =((√π)/4)e^(−(1/4))](Q128258.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:} \mathrm{cosx}\:\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \left(\mathrm{xcosx}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{by}\:\mathrm{psrts} \\ $$$$\mathrm{u}^{'} \:=\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\:\mathrm{and}\:\mathrm{v}=\mathrm{xcosx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{xcosx}\right]_{−\infty} ^{+\infty} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \left(\mathrm{cosx}−\mathrm{xsinx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{cosx}\:\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{sinx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{cosx}\:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{ix}} \mathrm{dx}\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ix}} \:\mathrm{dx}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)} \mathrm{dx}=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} \mathrm{dx} \\ $$$$=_{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}=\mathrm{t}} \:\:\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} \:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt}\:=\sqrt{\pi}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} \:\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{cosx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{sinx}\:\mathrm{dx}\:=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{sinx}\right]_{−\infty} ^{+\infty} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{cosx}\:\mathrm{dx}=\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} \:−\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} \:=\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} \\ $$