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Question Number 128370 by mathocean1 last updated on 06/Jan/21

f(x)=(x−1)(√(x−1)) on ]1;+∞[ F(x)=?

$$\left.{f}\left({x}\right)=\left({x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\:{on}\:\:\right]\mathrm{1};+\infty\left[\right. \\ $$$${F}\left({x}\right)=? \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 06/Jan/21

if you want derivative f^′ (x)=(√(x−1))+(x−1)×(1/(2(√(x−1)))) =((2(x−1)+x−1)/(2(√(x−1)))) =((2x−2+x−1)/(2(√(x−1))))=((3x−3)/(2(√(x−1)))) if you want integral F(x)=∫ f(x)dx =∫ (x−1)(√(x−1))dx =_((√(x−1))=t →x−1=t^2 ) ∫ t^2 .t .(2t)dt =2 ∫ t^4 dt =(2/5)t^5 +C =(2/5)((√(x−1)))^5 +C =(2/5)(x−1)^2 (√(x−1)) +C

$$\mathrm{if}\:\mathrm{you}\:\mathrm{want}\:\mathrm{derivative}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{2}+\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{you}\:\mathrm{want}\:\mathrm{integral} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\int\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\int\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=_{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:\rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \:\:\int\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} .\mathrm{t}\:.\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int\:\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{t}^{\mathrm{5}} \:+\mathrm{C}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left(\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{5}} \:+\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\mathrm{C} \\ $$

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