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Question Number 128540 by bramlexs22 last updated on 08/Jan/21

$$\mathrm{If}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{x}}^{-\mathrm{n}}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{x}}^{-\mathrm{n}}},\mathrm{x}>1$$ $$\mathrm{then}\int \frac{\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\ln (\mathrm{x}+\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2})}{\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}=?$$

Commented byliberty last updated on 08/Jan/21

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}-1}{{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}+1}=1$$ $$\mathrm{then}\int \frac{\mathrm{x}.1\ln (\mathrm{x}+\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2})}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}\mathrm{dx}$$ $$\mathrm{let}\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}=\mathrm{u}\Rightarrow \frac{\mathrm{x}\mathrm{dx}}{\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{du}\mathrm{and}\mathrm{x}=\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1}$$ $$\int \ln (\mathrm{u}+\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1})\mathrm{du};\mathrm{by}\mathrm{parts}$$ $$=\mathrm{u}\ln (\mathrm{u}+\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1})-\int \frac{\mathrm{u}(1+\frac{\mathrm{u}}{\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1}})}{\mathrm{u}+\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1}}\mathrm{du}$$ $$=\mathrm{u}\ln (\mathrm{u}+\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1})-\int \frac{\mathrm{u}(\mathrm{u}+\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1})(\mathrm{u}-\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1})}{-1\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1}}\mathrm{du}$$ $$=\mathrm{u}\ln (\mathrm{u}+\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1})+\int \frac{\mathrm{u}}{\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1}}\mathrm{du}$$ $$=\mathrm{u}\ln (\mathrm{u}+\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1})+\sqrt{{\mathrm{u}}^2-1}+\mathrm{c}$$ $$=\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}\ln (\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1})+\mathrm{x}+\mathrm{c}$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jan/21

$$\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{x}}^{-\mathrm{n}}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{x}}^{-\mathrm{n}}}=\frac{{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}-1}{{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}+1}\mathrm{we}\mathrm{have}\mathrm{x}>1\Rightarrow {\lim }_{\mathrm{x}\to +\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{x}}^{-\mathrm{n}}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{x}}^{-\mathrm{n}}}=1\Rightarrow$$ $$\mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\ln (\mathrm{x}+\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2})}{\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}=\int \frac{\mathrm{xln}(\mathrm{x}+\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2})}{\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}\mathrm{we}\mathrm{do}\mathrm{the}\mathrm{ch}.$$ $$\mathrm{x}=\mathrm{sht}\Rightarrow \mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{shtln}(\mathrm{sht}+\mathrm{cht})}{\mathrm{cht}}\mathrm{cht}=\int \mathrm{sh}\left(\mathrm{t}\right)\ln \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}\right)\mathrm{dt}$$ $$=\int \mathrm{t}\times \mathrm{sh}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\mathrm{tch}\left(\mathrm{t}\right)-\int \mathrm{ch}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\mathrm{tch}\left(\mathrm{t}\right)-\mathrm{sht}\mathrm{C}$$ $$=\mathrm{argsh}\left(\mathrm{x}\right)\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}-\mathrm{x}+\mathrm{C}$$ $$=\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}\ln (\mathrm{x}+\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2})-\mathrm{x}+\mathrm{C}$$

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