Question Number 128624 by john_santu last updated on 09/Jan/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\mid−\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\mid}{\mid\mathrm{2000x}+\mathrm{5}\mid−\mid\mathrm{2000x}−\mathrm{5}\mid}\:=? \\ $$
Answered by liberty last updated on 09/Jan/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2000x}+\mathrm{5}\right)+\left(\mathrm{2000x}−\mathrm{5}\right)}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4000x}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jan/21
$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}_{+} } \:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{2000x}\:+\mathrm{5}−\mathrm{2000x}+\mathrm{5}}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{10}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{−} } \:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{−} } \:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{5}−\mathrm{2000x}−\left(\mathrm{2000x}+\mathrm{5}\right)}=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{−} } \:\:\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }{−\mathrm{4000x}} \\ $$$$=−\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{−} } \:\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2000}}=\mathrm{0} \\ $$