Question Number 128645 by john_santu last updated on 09/Jan/21
$$\:\mathrm{If}\:\mathrm{6tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}.\mathrm{sec}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{where} \\ $$ $$\frac{\pi}{\mathrm{2}}<\mathrm{x}<\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{2}}\:\mathrm{has}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} .\:\mathrm{Find} \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right). \\ $$
Answered by liberty last updated on 09/Jan/21
$$\:\left(\bullet\right)\:\frac{\mathrm{6sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}+\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \\ $$ $$\:\left(\bullet\right)\:\mathrm{6sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$ $$\:\left(\bullet\right)\left(\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\:\left(\because\right)\:\begin{cases}{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\wedge\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{or}}\\{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\wedge\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\end{cases} \\ $$