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Question Number 128910 by shaker last updated on 11/Jan/21

Answered by bramlexs22 last updated on 11/Jan/21

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}-\mathrm{nx}.2^{\mathrm{n}-1}+\mathrm{n}.2^{\mathrm{n}}}{{(\mathrm{x}-2)}^2}=$$$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{{\mathrm{nx}}^{\mathrm{n}-1}-\mathrm{n}.2^{\mathrm{n}-1}}{2(\mathrm{x}-2)}=$$$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{n}.(\mathrm{n}-1){\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-2}}{2}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)2^{\mathrm{n}-2}}{2}$$$$=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1).2^{\mathrm{n}-3}$$$$$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jan/21

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}-{\mathrm{n}2}^{\mathrm{n}-1}(\mathrm{x}-2)}{{(\mathrm{x}-2)}^2}\mathrm{we}\mathrm{do}\mathrm{the}\mathrm{changement}\mathrm{x}-2=\mathrm{t}\Rightarrow$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{{(\mathrm{t}+2)}^{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}-{\mathrm{n}2}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{t}}{{\mathrm{t}}^2}$$$$=\frac{\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{t}}^{\mathrm{k}}{2}^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}-2^{\mathrm{n}}-{\mathrm{n}2}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{t}}{{\mathrm{t}}^2}$$$$=\frac{2^{\mathrm{n}}+{\mathrm{n}2}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{t}+\sum _{\mathrm{k}=2}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{t}}^{\mathrm{k}}{2}^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}-2^{\mathrm{n}}-{\mathrm{n}2}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{t}}{{\mathrm{t}}^2}$$$$=\sum _{\mathrm{k}=2}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{t}}^{\mathrm{k}-2}{2}^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}(\mathrm{k}-2=\mathrm{i})$$$$=\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-2}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{i}+2}{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}}{2}^{\mathrm{n}-\mathrm{i}-2}(\mathrm{x}\to 2\Rightarrow \mathrm{t}\to 0)$$$$={\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^2{2}^{\mathrm{n}-2}+{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^3\mathrm{t}{2}^{\mathrm{n}-3}+.....\Rightarrow$$$${\lim }_{\mathrm{x}\to 2}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\lim }_{\mathrm{t}\to 0}\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)=2^{\mathrm{n}-2}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^2=2^{\mathrm{n}-2}\times \frac{\mathrm{n}!}{(\mathrm{n}-2)!2!}$$$$=2^{\mathrm{n}-2}\times \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)2^{\mathrm{n}-3}$$

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