Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Integration Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Integration      Next in Integration      

Question Number 128952 by mathmax by abdo last updated on 11/Jan/21

calculate A_n =∫_0 ^∞ (dx/((x^2 +1)^n )) , n integr and n≥1

$$\mathrm{calculate}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\:\:\:,\:\mathrm{n}\:\mathrm{integr}\:\mathrm{and}\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1} \\ $$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 11/Jan/21

∫_0 ^∞ (dx/((x^2 +1)^n )) =(1/2)∫_0 ^∞ (t^((1/2)−1) /((t+1)^((n−(1/2))+(1/2)) ))dt=β((1/2),n−(1/2))=((Γ(n−(1/2))Γ((1/2)))/(2Γ(n)))

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{{n}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} }{\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\left({n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }{dt}=\beta\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},{n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\Gamma\left({n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}\Gamma\left({n}\right)} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jan/21

A_n =∫_0 ^∞ ((x^2 +1)/((x^2 +1)^(n+1) ))dx =∫_0 ^∞ (x^2 /((x^2 +1)^(n+1) ))dx +A_(n+1) we have ∫_0 ^∞ (x^2 /((x^2 +1)^(n+1) ))dx =∫_0 ^∞ x(x(x^2 +1)^(−n−1) )dx by parts u=x and v^′ =x(x^2 +1)^(−n−1) ⇒v=−(1/(2n))(x^2 +1)^(−n) ⇒∫_0 ^∞ ((x^2 dx)/((x^2 +1)^(n+1) )) =[−(x/(2n))(x^2 +1)^(−n) ]_0 ^∞ +(1/(2n))∫_0 ^∞ (dx/((x^2 +1)^n )) =(1/(2n))A_n ⇒A_n =(1/(2n))A_n +A_(n+1) ⇒A_(n+1) =(1−(1/(2n)))A_n ⇒ A_(n+1) =((2n−1)/(2n))A_n ⇒(A_(n+1) /A_n ) =((2n−1)/(2n)) ⇒Π_(k=1) ^(n−1) (A_(k+1) /A_k )=Π_(k=1) ^(n−1) ((2k−1)/(2k)) ⇒ (A_2 /A_1 ).(A_3 /A_2 ).....(A_n /A_(n−1) ) =((Π_(k=1) ^(n−1) (2k−1))/(2^(n−1) (n−1)!))⇒ A_n =A_1 ×((1.3....(2n−3))/(2^(n−1) (n−1)!)) =A_1 ×((1.2.3.....(2n−4)(2n−3)(2n−2))/((2^(n−1) )^2 (n−1)!^2 )) =(((2n−2)!)/(2^(2n−2) ((n−1)!)^2 ))A_1 =(((2n−2)!)/(2^(2n−2) (n−1)!^2 )).(π/2) (n>1) ⇒ A_n =π×(((2n−2)!)/(2^(2n−1) {(n−1)!^2 }))

$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\mathrm{dx}\:+\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{x}\left(\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\mathrm{u}=\mathrm{x}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{v}^{'} \:=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{v}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\:=\left[−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2n}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{n}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\mathrm{A}_{\mathrm{n}} +\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\right)\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\:\Rightarrow\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{n}} }\:=\frac{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\:\Rightarrow\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{k}} }=\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2k}−\mathrm{1}}{\mathrm{2k}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{1}} }.\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{3}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{2}} }.....\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{A}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\:=\frac{\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{A}_{\mathrm{1}} ×\frac{\mathrm{1}.\mathrm{3}....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\:=\mathrm{A}_{\mathrm{1}} ×\frac{\mathrm{1}.\mathrm{2}.\mathrm{3}.....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{2n}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \left(\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \:\:=\frac{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!^{\mathrm{2}} }.\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\:\:\left(\mathrm{n}>\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\pi×\frac{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left\{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!^{\mathrm{2}} \right\}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jan/21

residus method A_n =(1/2)∫_(−∞) ^(+∞) (dx/((x^2 +1)^n )) let ϕ(z)=(1/((z^2 +1)^n )) ⇒ ϕ(z)=(1/((z−i)^n (z+i)^n )) residus give ∫_R ϕ(z)dz=2iπRes(ϕ,i) Res(ϕ,i)=lim_(z→i) (1/((n−1)!)){(z−i)^n ϕ(z)}^((n−1)) =lim_(z→i) (1/((n−1)!)){(z+i)^(−n) }^((n−1)) that lead to find (z+i)^(−n) }^((p)) {(z+i)^(−n) }^((1)) =−n(z+i)^(−n−1) {(z+i)^(−n) }^((2)) =(−1)^2 n(n+1)(z+i)^(−(n+2)) {(z+i)^(−n) }^((p)) =(−1)^p n(n+1)....(n+p−1)(z+i)^(−n−p) p=n−1 ⇒{(z+i)^(−n) }^((n−1)) =(−1)^(n−1) n(n+1)....(n+n−1−1)(z+i)^(−n−(n−1)) =(−1)^(n−1) n(n+1).....(2n−2)(z+i)^(−2n+1) =(((−1)^(n−1) n(n+1)....(2n−2))/((z+i)^(2n−1) )) ⇒ Res(ϕ,i)=lim_(z→i) (1/((n−1)!))×(((−1)^(n−1) n(n+1)....(2n−2))/((z+i)^(2n−1) )) =(((−1)^(n−1) n(n+1)....(2n−2))/((n−1)!(2i)^(2n−1) )) =i(((−1)^(n−1) n(n+1)....(2n−2))/((n−1)!2^(2n−1) (−1)^n )) =−i((n(n+1)....(2n−2))/(2^(2n−1) (n−1)!)) ⇒∫_R ϕ(z)dz =2iπ×(−i)×((n(n+1)....(2n−2))/(2^(2n−1) (n−1)!)) =π×((n(n+1)(n+2)...(2n−2))/(2^(2n−2) (n−1)!))=2A_n ⇒ A_n =(π/2)×((n(n+1)(n+2)....(2n−2))/(2^(2n−2) (n−1)!))

$$\mathrm{residus}\:\mathrm{method}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\:\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} }\:\:\mathrm{residus}\:\mathrm{give}\:\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\left.\mathrm{that}\:\mathrm{lead}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\:\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{p}\right)} \\ $$$$\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=−\mathrm{n}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{2}\right)} \:=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{p}\right)} \:=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)....\left(\mathrm{n}+\mathrm{p}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{p}} \\ $$$$\mathrm{p}=\mathrm{n}−\mathrm{1}\:\Rightarrow\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}} \right\}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)....\left(\mathrm{n}+\mathrm{n}−\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{n}−\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right).....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{−\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} }\:=\mathrm{i}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} } \\ $$$$=−\mathrm{i}\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi×\left(−\mathrm{i}\right)×\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$=\pi×\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)...\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}=\mathrm{2A}_{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\frac{\pi}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com