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Question Number 129150 by benjo_mathlover last updated on 13/Jan/21

∫_0 ^( x) (x−u)^2 u f(u) du = 4x−6sin x+2xcos x f(x)=?

$$\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{x}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{u}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{du}\:=\:\mathrm{4x}−\mathrm{6sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{2xcos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=? \\ $$

Answered by liberty last updated on 13/Jan/21

(d/dx)(∫_0 ^( x) (x−u)^2 uf(u) du)=(d/dx)(4x−6sin x+2xcos x) ⇒2∫_0 ^( x) (x−u)u f(u)du = 4−6cos x+2cos x−2xsin x (d/dx)(2∫_0 ^( x) (x−u)uf(u)du)=6sin x−2sin x−(2sin x+2xcos x) ⇒2∫_0 ^( x) u f(u) du = 2sin x−2xcos x (d/dx)(2∫_0 ^( x) u f(u) du)=(d/dx)(2sin x−2xcos x) ⇒2x f(x)=2cos x−(2cos x−2xsin x) ⇒2x f(x) = 2x sin x ∴ f(x) = sin x

$$\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{x}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{u}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{uf}\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{du}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{4x}−\mathrm{6sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{2xcos}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{x}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{u}\right)\mathrm{u}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}\:=\:\mathrm{4}−\mathrm{6cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{2xsin}\:\mathrm{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{x}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{u}\right)\mathrm{uf}\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}\right)=\mathrm{6sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}−\left(\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{2xcos}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{x}} \mathrm{u}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{du}\:=\:\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{2xcos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{x}} \mathrm{u}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{du}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{2xcos}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2x}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}−\left(\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{2xsin}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2x}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{2x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$\underline{\therefore\:\boldsymbol{\mathrm{f}}\left(\boldsymbol{{x}}\right)\:=\:\boldsymbol{\mathrm{sin}}\:\boldsymbol{{x}}\:}\: \\ $$

Commented by benjo_mathlover last updated on 13/Jan/21

waw..superb...

$$\mathrm{waw}..\mathrm{superb}... \\ $$

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