Question Number 129231 by liberty last updated on 14/Jan/21
$$\:\mathrm{Given}\:\begin{cases}{{a}=\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}\\{{b}=\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}\end{cases}.\:\mathrm{If}\:\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)=\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{3cos}\:{x} \\ $$$$\mathrm{then}\:{x}\:=? \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 14/Jan/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{cos}\:{x}\:={c} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${a}=\left(\mathrm{2}{c}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{1}−{c}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${b}=\mathrm{2}{c}^{\mathrm{2}} +{c}−\mathrm{1} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}{c}+\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\left({c}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{c}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{c}−\mathrm{1} \\ $$$${c}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{c}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\:{x}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\vee\mathrm{cos}\:{x}\:=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${x}=\mathrm{2}{n}\pi\pm\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\:\vee\:{x}=\mathrm{2}{n}\pi \\ $$
Commented by bemath last updated on 14/Jan/21
$$\mathrm{great}... \\ $$