Question Number 129318 by mnjuly1970 last updated on 14/Jan/21
$$\:\:\:\:\:...\:\:{laplace}\:\:\:\:\:{transformation}.. \\ $$$$\:\:\:\:\mathscr{L}\:\:\left({te}^{−{t}} \lfloor{t}\rfloor\right)=? \\ $$$$\:\:\:{note}\::\:\lfloor{x}\rfloor\:{is}\:{floor}\:{of}\:''\:{x}\:''... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:.............. \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Jan/21
![L(te^(−t) [t]) =∫_0 ^∞ xe^(−x) [x] e^(−tx) dx =∫_0 ^∞ x[x]e^(−(t+1)x) dx =Σ_(n=0) ^∞ ∫_n ^(n+1) nxe^(−(t+1)x) dx =Σ_(n=0) ^∞ n ∫_n ^(n+1) xe^(−(t+1)x) dx we have A_n =∫_n ^(n+1) xe^(−(t+1)x) dx =_((t+1)x=u) ∫_((t+1)n) ^((t+1)(n+1)) (u/(t+1))e^(−u) (du/(t+1)) =(1/((t+1)^2 ))∫_(n(t+1)) ^((n+1)(t+1)) ue^(−u) du =(1/((t+1)^2 )){[−ue^(−u) ]_(n(t+1)) ^((n+1)(t+1)) +∫_(n(t+1)) ^((n+1)(t+1)) e^(−u) du} =(1/((t+1)^2 )){n(t+1)e^(−n(t+1)) −(n+1)(t+1)e^(−(n+1)(t+1)) } +(1/((t+1)^2 ))[−e^(−u) ]_(n(t+1)) ^((n+1)(t+1)) =(n/(t+1))e^(−n(t+1)) −((n+1)/(t+1))e^(−(n+1)(t+1)) +(1/((t+1)^2 ))e^(−n(t+1)) −(1/((t+1)^2 ))e^(−(n+1)(t+1)) =((n/(t+1))+(1/((t+1)^2 )))e^(−n(t+1)) −(((n+1)/(t+1))+(1/((t+1)^2 )))e^(−(n+1)(t+1)) ⇒ L(te^(−t) [t]) =Σ_(n=0) ^∞ ((n/(t+1))+(1/((t+1)^2 )))e^(−n(t+1)) −Σ_(n=0) ^∞ (((n+1)/(t+1))+(1/((t+1)^2 )))e^(−(n+1)(t+1)) =S_1 −S_2 S_1 =(1/(t+1))Σ_(n=0) ^∞ n(e^(−(t+1)) )^n +(1/((t+1)^2 ))×(1/(1−e^(−(t+1)) )) =(1/(t+1))Ψ(e^(−(t+1)) )+(1/((t+1)^2 (1−e^(−(t+1)) ))) with Ψ(x)= Σ_(n=0) ^∞ nx^n we have Σ_(n=0) ^∞ x^n =(1/(1−x)) for ∣x∣<1 ⇒ Σ_(n=1) ^∞ nx^(n−1) =(1/((1−x)^2 )) ⇒Σ_(n=1) ^∞ nx^n =(x/((1−x)^2 )) ⇒ S_1 =(1/(t+1))×(e^(−(t+1)) /((1−e^(−(t+1)) )^2 ))+(1/((t+1)^2 (1−e^(−(t+1)) ))) S_2 =(1/(t+1))Σ_(n=0) ^∞ (n+1)e^(−(n+1)(t+1)) −(1/((t+1)^2 ))Σ_(n=0) ^∞ e^(−(n+1)(t+1)) =(1/(t+1))Σ_(n=1) ^∞ ne^(−n(t+1)) −(1/((t+1)^2 ))Σ_(n=1) ^∞ e^(−n(t+1)) Σ_(n=1) ^∞ e^(−n(t+1)) =Σ_(n=1) ^∞ (e^(−(t+1)) )^n =(1/(1−e^(−(t+1)) ))−1 =(e^(−(t+1)) /(1−e^(−(t+1)) )) Σ_(n=1) ^∞ ne^(−n(t+1)) =Σ_(n=1) ^∞ n (e^(−(t+1)) )^n =Φ(e^(−(t+1)) ) Φ is know....](Q129332.png)
$$\mathrm{L}\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \left[\mathrm{t}\right]\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \left[\mathrm{x}\right]\:\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}\left[\mathrm{x}\right]\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{nxe}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\:\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{xe}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{xe}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=_{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}=\mathrm{u}} \:\:\int_{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{n}} ^{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \frac{\mathrm{u}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:\mathrm{ue}^{−\mathrm{u}} \:\mathrm{du}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{\left[−\mathrm{ue}^{−\mathrm{u}} \right]_{\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right. \\ $$$$\left.+\int_{\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \:\mathrm{du}\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right\} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left[−\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \right]_{\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} −\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} −\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:−\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \left[\mathrm{t}\right]\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{S}_{\mathrm{1}} −\mathrm{S}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)^{\mathrm{n}} +\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} }\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\Psi\left(\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)}\:\mathrm{with}\:\Psi\left(\mathrm{x}\right)= \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\mathrm{for}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} −\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{ne}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} −\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} }−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} }{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} } \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{ne}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\:\left(\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)^{\mathrm{n}} \:=\Phi\left(\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right) \\ $$$$\Phi\:\mathrm{is}\:\mathrm{know}.... \\ $$