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Question Number 129336 by bramlexs22 last updated on 15/Jan/21
$$\mathrm{If}\:{a},{b}\:\mathrm{and}\:{c}\:\mathrm{are}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\: \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21}{x}−\mathrm{35}\:=\:\mathrm{0}\:\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\:\left({a}−{b}\right)\left({c}−{a}\right)\left({b}−{c}\right)\:? \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 22/Jan/21
![x^3 +px+q=0 Cardano gives u=−(q/2)+(√((q^2 /4)+(p^3 /(27))))∧v=−(q/2)−(√((q^2 /4)+(p^3 /(27)))) [and for this purpose they are allowed to be complex] the roots then are [ω=−(1/2)+((√3)/2)i] a=u^(1/3) +v^(1/3) b=ωu^(1/3) +w^2 v^(1/3) c=ω^2 u^(1/3) +ωv^(1/3) (a−b)(b−c)(c−a)= [knowing that ω^3 =1, ω^(3n+k) =ω^k ] ... =3(ω^2 −ω)(u−v)= =−3(√3)(u−v)i= =−i(√(4p^3 +27q^2 )) with p=−21∧q=−35 we get 63](Q129342.png)
$${x}^{\mathrm{3}} +{px}+{q}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Cardano}\:\mathrm{gives} \\ $$$${u}=−\frac{{q}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\frac{{q}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{{p}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}}}\wedge{v}=−\frac{{q}}{\mathrm{2}}−\sqrt{\frac{{q}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{{p}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}}} \\ $$$$\left[\mathrm{and}\:\mathrm{for}\:\mathrm{this}\:\mathrm{purpose}\:\mathrm{they}\:\mathrm{are}\:\mathrm{allowed}\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{complex}\right] \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{then}\:\mathrm{are}\:\left[\omega=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\right] \\ $$$${a}={u}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} +{v}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \\ $$$${b}=\omega{u}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} +{w}^{\mathrm{2}} {v}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \\ $$$${c}=\omega^{\mathrm{2}} {u}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} +\omega{v}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \\ $$$$\left({a}−{b}\right)\left({b}−{c}\right)\left({c}−{a}\right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{knowing}\:\mathrm{that}\:\omega^{\mathrm{3}} =\mathrm{1},\:\omega^{\mathrm{3}{n}+{k}} =\omega^{{k}} \right] \\ $$$$... \\ $$$$=\mathrm{3}\left(\omega^{\mathrm{2}} −\omega\right)\left({u}−{v}\right)= \\ $$$$=−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\left({u}−{v}\right)\mathrm{i}= \\ $$$$=−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{4}{p}^{\mathrm{3}} +\mathrm{27}{q}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{with}\:{p}=−\mathrm{21}\wedge{q}=−\mathrm{35}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{63} \\ $$
Commented by bramlexs22 last updated on 15/Jan/21
$$\mathrm{correct}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{but}\:\mathrm{how}\:\mathrm{step}\:\mathrm{to}\:\mathrm{got}\:\mathrm{it}? \\ $$
Commented by liberty last updated on 15/Jan/21
![my way. let p(x) = (x−a)(x−b)(x−c) be polynomial has the roots are a,b and c so we have (x−a)(x−b)(x−c)=x^3 −21x−35 differentiating both sides w.r.t x gives (x−b)(x−c)+(x−a)(x−c)+(x−a)(x−b)=3x^2 −21 putting x=a⇒3a^2 −21=(a−b)(a−c) putting x=b⇒3b^2 −21=(b−a)(b−c) putting x=c⇒3c^2 −21=(c−a)(c−b) multiply three equation we get (a−b)(a−c)(b−a)(b−c)(c−a)(c−b)=27(a^2 −7)(b^2 −7)(c^2 −7) [ (a−b)(b−c)(c−a) ]^2 = 27(a^2 −7)(b^2 −7)(c^2 −7) now consider the original equation x^3 −21x = 35 ; x(x^2 −21)=35 x^2 (x^2 −21)^2 =35^2 ; let y=x^2 −7 (y+7)(y+7−21)^2 =35^2 ⇒y^3 −21y^2 −147=0 whose roots are { ((a^2 −7 )),((b^2 −7 )),((c^2 −7)) :} then by Vieta′s rule we get (a^2 −7)(b^2 −7)(c^2 −7)=147 finally we find [ (a−b)(b−c)(c−a) ]^2 =27×147 ⇔ (a−b)(b−c)(c−a) = ± (√(3969)) = ± 63](Q129390.png)
$$\mathrm{my}\:\mathrm{way}. \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{c}\right)\:\mathrm{be}\:\mathrm{polynomial} \\ $$$$\mathrm{has}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\mathrm{a},\mathrm{b}\:\mathrm{and}\:\mathrm{c}\:\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{c}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21x}−\mathrm{35} \\ $$$$\mathrm{differentiating}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}\:\mathrm{x}\:\mathrm{gives} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{c}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{c}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{b}\right)=\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{21} \\ $$$$\mathrm{putting}\:\mathrm{x}=\mathrm{a}\Rightarrow\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{21}=\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{c}\right) \\ $$$$\mathrm{putting}\:\mathrm{x}=\mathrm{b}\Rightarrow\mathrm{3b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{21}=\left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right) \\ $$$$\mathrm{putting}\:\mathrm{x}=\mathrm{c}\Rightarrow\mathrm{3c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{21}=\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{multiply}\:\mathrm{three}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{b}\right)=\mathrm{27}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\right) \\ $$$$\left[\:\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\:\right]^{\mathrm{2}} =\:\mathrm{27}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\right) \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{consider}\:\mathrm{the}\:\mathrm{original}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21x}\:=\:\mathrm{35}\:;\:\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{21}\right)=\mathrm{35} \\ $$$$\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{21}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{35}^{\mathrm{2}} \:;\:\mathrm{let}\:\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7} \\ $$$$\:\left(\mathrm{y}+\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{7}−\mathrm{21}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{35}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{147}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{whose}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\begin{cases}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\:}\\{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\:}\\{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{by}\:\mathrm{Vieta}'\mathrm{s}\:\mathrm{rule}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\right)=\mathrm{147} \\ $$$$\mathrm{finally}\:\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\left[\:\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\:\right]^{\mathrm{2}} =\mathrm{27}×\mathrm{147} \\ $$$$\underline{\Leftrightarrow\:\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\:=\:\pm\:\sqrt{\mathrm{3969}}\:=\:\pm\:\mathrm{63}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 15/Jan/21
$$\mathrm{I}\:\mathrm{corrected}\:\mathrm{and}\:\mathrm{completed} \\ $$
Commented by bramlexs22 last updated on 15/Jan/21
$$\mathrm{waw}...\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$
Commented by bemath last updated on 15/Jan/21
![my method ⇔ x^3 −21x−35 = 0 a^3 −21a−35=0...(1) b^3 −21b−35=0...(2) (1)−(2)⇒a^3 −b^3 −21(a−b)=0 (a−b)(a^2 +ab+b^2 )−21(a−b)=0 (a−b)(a^2 +b^2 +ab−21)=0 ⇒(a−b)^2 +3ab−21=0 (a−b)^2 = 21−3ab similar to { (((c−a)^2 = 21−3ac)),(((b−c)^2 = 21−3bc)) :} so we find [(a−b)(c−a)(b−c)]^2 = (21−3ab)(21−3ac)(21−3bc) RHS ≡ −27(abc)^2 +189abc(a+b+c)− 1323(ab+ac+bc)+21^3 RHS≡ −27(35)^2 +189(0)−1323(−21)+21^3 RHS≡ 3969 finally we find (a−b)(c−a)(b−c) = ± (√(3969)) = ± 63](Q129401.png)
$$\mathrm{my}\:\mathrm{method}\: \\ $$$$\:\Leftrightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21x}−\mathrm{35}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21a}−\mathrm{35}=\mathrm{0}...\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21b}−\mathrm{35}=\mathrm{0}...\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\left(\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{21}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}−\mathrm{21}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\Rightarrow\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3ab}−\mathrm{21}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{21}−\mathrm{3ab}\: \\ $$$$\mathrm{similar}\:\mathrm{to}\:\begin{cases}{\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{21}−\mathrm{3ac}}\\{\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{21}−\mathrm{3bc}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{find}\: \\ $$$$\left[\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\right]^{\mathrm{2}} \:=\:\left(\mathrm{21}−\mathrm{3ab}\right)\left(\mathrm{21}−\mathrm{3ac}\right)\left(\mathrm{21}−\mathrm{3bc}\right) \\ $$$$\mathrm{RHS}\:\equiv\:−\mathrm{27}\left(\mathrm{abc}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{189abc}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)− \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1323}\left(\mathrm{ab}+\mathrm{ac}+\mathrm{bc}\right)+\mathrm{21}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{RHS}\equiv\:−\mathrm{27}\left(\mathrm{35}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{189}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{1323}\left(−\mathrm{21}\right)+\mathrm{21}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{RHS}\equiv\:\mathrm{3969}\: \\ $$$$\mathrm{finally}\:\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\:=\:\pm\:\sqrt{\mathrm{3969}}\:=\:\pm\:\mathrm{63}\: \\ $$