Question Number 129815 by stelor last updated on 19/Jan/21
$$\mathrm{Calculer}\:\mathrm{les}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}riv}\acute {\mathrm{e}es}\:\mathrm{n}-\mathrm{i}\grave {\mathrm{e}mes}\:\mathrm{en}\:\mathrm{0}\:\mathrm{de}\: \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}finie}\:\mathrm{par}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Jan/21
![first let decompose f(x)=(x^2 /(x^4 +1)) z^4 +1=0 ⇒z^4 =−1=e^(i(2k+1)π) ⇒z_k =e^((i(2k+1)π)/4) and k∈[[0,3]] f(x)=(x^2 /(Π_(k=0) ^3 (x−z_k ))) =Σ_(k=0) ^3 (a_k /(x−z_k )) a_k =(z_k ^2 /(4z_k ^3 )) =(1/(4z_k )) ⇒f(x)=(1/4)Σ_(k=0) ^3 (1/(z_k (x−z_k )))=(1/4)Σ_(k=0) ^3 (e^(−i(((2k+1)π)/4)) /(x−z_k )) ⇒ f^((n)) (x)=(1/4)Σ_(k=0) ^3 e^(−((k(2k+1)π)/4)) ×(((−1)^n n!)/((x−z_k )^(n+1) )) ⇒ f^((n)) (0) =(1/4)Σ_(k=0) ^3 e^(−((i(2k+1)π)/4)) (((−1)^n n!)/((−1)^(n+1) z_k ^(n+1) )) =−(1/4)Σ_(k=0) ^3 ((n!)/z_k ^(n+2) ) =−((n!)/4)Σ_(k=0) ^3 (e^(−((i(2k+1)π)/4)) )^(n+2) =−((n!)/4)Σ_(k=0) ^3 e^(−((i(2k+1)(n+2)π)/4)) =−((n!)/4){e^(−i(n+2)(π/4)) +e^(−((3i(n+2)π)/4)) +e^(−((5i(n+2)π)/4)) + e^(−((7i(n+2)π)/4)) }](Q129829.png)
$$\mathrm{first}\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}}\:\: \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:=−\mathrm{1}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi} \:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{k}} =\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{4}}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{k}\in\left[\left[\mathrm{0},\mathrm{3}\right]\right] \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{z}_{\mathrm{k}} \right)}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \:\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{k}} }{\mathrm{x}−\mathrm{z}_{\mathrm{k}} } \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{k}} =\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4z}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4z}_{\mathrm{k}} }\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}_{\mathrm{k}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{z}_{\mathrm{k}} \right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\frac{\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{4}}} }{\mathrm{x}−\mathrm{z}_{\mathrm{k}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{k}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{4}}} ×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{z}_{\mathrm{k}} \right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{4}}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}!}{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{z}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{z}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }\:=−\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \:\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{4}}} \right)^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\pi}{\mathrm{4}}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{4}}\left\{\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \:+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{3i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\pi}{\mathrm{4}}} \:+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{5i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\pi}{\mathrm{4}}} \:+\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{7i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\pi}{\mathrm{4}}} \right\} \\ $$