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Question Number 130472 by shaker last updated on 26/Jan/21

Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Jan/21

let w(x) =Σ_(k=1) ^n (2k−1)x^k ⇒w(x)=2Σ_(k=1) ^n kx^k −Σ_(k=1) ^n x^k we have Σ_(k=0) ^n x^k =((x^(n+1) −1)/(x−1)) (x≠1) ⇒Σ_(k=1) ^n kx^(k−1) =((nx^(n+1) −(n+1)x^n +1)/((x−1)^2 )) ⇒Σ_(k=1) ^n kx^k =(x/((x−1)^2 ))(nx^(n+1) −(n+1)x^n +1) ⇒ w(x)=((2x)/((x−1)^2 ))(nx^(n+1) −(n+1)x^n +1)−((1/(1−x))−1) =((2x(nx^(n+1) −(n+1)x^n +1))/((x−1)^2 ))−((x(1−x))/((1−x)^2 )) =((2x(nx^(n+1) −(n+1)x^n +1)+x^2 −x)/((x−1)^2 )) ⇒ f(x)=(((√(2nx^(n+2) −2(n+1)x^(n+1) +x^2 +x))×(1/(x−1))−n)/((x−1))) =(((√(2nx^(n+2) −2(n+1)x^(n+1) +x^2 +x))−n(x−1))/((x−1)^2 )) we do the changement x−1=t (t→0) ⇒f(x)=f(t+1) =(((√(2n(t+1)^(n+2) −2(n+1)(t+1)^(n+1) +(t+1)^2 +t))−nt)/t^2 ) we have (1+t)^(n+2) ∼1+(n+2)t +(((n+2)(n+1))/2)t^2 (1+t)^(n+1) ∼1+(n+1)t+(((n+1)n)/2)t^2 (t+1)^2 +t ∼1 ⇒ 2n(t+1)^(n+2) −2(n+1)(t+1)^(n+1) +(t+1)^2 +t ∼2n{1+(n+2)t+(((n+2)(n+1))/2)t^2 }−2(n+1)(1+(n+1)t+(((n+1)n)/2)t^2 )+1 ....be continued...

$$\mathrm{let}\:\mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow\mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{kx}^{\mathrm{k}} −\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\:\left(\mathrm{x}\neq\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{kx}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{kx}^{\mathrm{k}} \:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}\right)−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2x}\left(\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2x}\left(\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1}\right)+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{2nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{n}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}}−\mathrm{n}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement} \\ $$$$\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{t}\:\:\left(\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}}−\mathrm{nt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\sim\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{t}\:+\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \sim\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}+\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}\:\sim\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t} \\ $$$$\sim\mathrm{2n}\left\{\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{t}+\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right\}−\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}+\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{1} \\ $$$$....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Jan/21

in this case it better to use[hospital theorem let u(x)=(√(x+3x^2 +5x^3 +....+(2n−1)x^n ))−n and v(x)=x−1 u^′ (x)=((1+6x+15x^2 +....+n(2n−1)x^(n−1) )/(2(√(x+3x^2 +5x^3 +....+(2n−1)x^n )))) ⇒ lim_(x→1) u^′ (x)=((1+6+15+....+n(2n−1))/(2(√(1+3+5+....+2n−1)))) v^′ (x)=1 ⇒lim_(x→1) v^′ (x)=1 also Σ_(k=1) ^n k(2k−1) =2Σ_(k=1) ^n k^2 −Σ_(k=1) ^n k =2.((n(n+1)(2n+1))/6)−((n(n+1))/2) =((n(n+1)(2n+1))/3)−((n(n+1))/2)=n(n+1){((2n+1)/3)−(1/2)} =n(n+1)(((4n+2−3)/6)) =((n(n+1)(4n−1))/6) Σ_(k=1) ^n (2k−1) =2Σ_(k=1) ^n k−Σ_(k=1) ^n k =2((n(n+1))/2)−((n(n+1))/2) =((n(n+1))/2) ⇒lim_(x→1) (...) =(((n(n+1)(4n−1))/6)/(2(√((n(n+1))/2)))) =((n(n+1)(4n−1))/(6(√2)(√(n(n+1))))) =(((4n−1)(√(n(n+1))))/(6(√2)))

$$\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{case}\:\mathrm{it}\:\mathrm{better}\:\mathrm{to}\:\mathrm{use}\left[\mathrm{hospital}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{let}\right. \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5x}^{\mathrm{3}} +....+\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }−\mathrm{n}\:\mathrm{and}\:\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{u}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{6x}+\mathrm{15x}^{\mathrm{2}} +....+\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5x}^{\mathrm{3}} +....+\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} \mathrm{u}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{6}+\mathrm{15}+....+\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{5}+....+\mathrm{2n}−\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{v}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} \mathrm{v}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}\:\:\mathrm{also} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{k}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{k}\:=\mathrm{2}.\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}=\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left\{\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$$$=\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{4n}+\mathrm{2}−\mathrm{3}}{\mathrm{6}}\right)\:=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{k}−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{k}\:=\mathrm{2}\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} \left(...\right) \\ $$$$=\frac{\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}}}\:=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{4n}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}}{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$

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