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Question Number 130771 by mathmax by abdo last updated on 28/Jan/21

let A = (((1 2)),((2 1)) ) 1)find e^A and e^(−A) 2)calculate ch(A)and sh(A)

$$\mathrm{let}\:\mathrm{A}\:=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{find}\:\mathrm{e}^{\mathrm{A}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{A}} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{calculate}\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{A}\right)\mathrm{and}\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{A}\right) \\ $$

Answered by Olaf last updated on 28/Jan/21

A = (((1 2)),((2 1)) ) A^2 = (((5 4)),((4 5)) ) = 2A+3I A^3 = AA^2 = A(2A+3I) = 7A+6I ... Let A^n = a_n A+b_n I, a_1 = 1, b_1 = 0 ⇒ A^(n+1) = AA^n = A(a_n A+b_n I) A^(n+1) = a_n A^2 +b_n A A^(n+1) = (2a_n +b_n )A+3a_n I ⇒ { ((a_(n+1) = 2a_n +b_n (1))),((b_(n+1) = 3a_n (2))) :} (1) : a_(n+2) = 2a_(n+1) +b_(n+1) a_(n+2) = 2a_(n+1) +3a_n , a_1 = 1, a_2 = 2 ⇒ a_n = (1/4)[3^n +(−1)^(n+1) ] (2) : b_n = 3a_(n−1) = (1/4)[3^n +3(−1)^n ] A^n = a_n A+b_n I A^n = (1/2) (((3^n +(−1)^n ),(3^n +(−1)^(n+1) )),((3^n +(−1)^(n+1) ),(3^n +(−1)^n )) ) A^(−n) = (1/2) ((((1/3^n )+(−1)^n ),((1/3^n )+(−1)^n )),(((1/3^n )+(−1)^n ),((1/3^n )+(−1)^n )) ) e^A = Σ_(n=0) ^∞ (1/(n!))A^n Σ_(n=0) ^∞ (3^n /(n!)) = e^3 , Σ_(n=0) ^∞ (1/(3^n n!)) = (1/e^3 ), Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(n!)) = (1/e) e^A = (1/2) (((e^3 +(1/e)),(e^3 −(1/e))),((e^3 −(1/e)),(e^3 +(1/e))) ) e^(−A) = (1/2) ((((1/e^3 )+(1/e)),((1/e^3 )+(1/e))),(((1/e^3 )+(1/e)),((1/e^3 )+(1/e))) ) coshA = (1/2)(e^A +e^(−A) ) coshA = (1/4) (((e^3 +(1/e^3 )+(2/e)),(e^3 +(1/e^3 ))),((e^3 +(1/e^3 )),(e^3 +(1/e^3 )+(2/e))) ) sinhA = (1/2)(e^A −e^(−A) ) sinhA = (1/4) (((e^3 −(1/e^3 )),(e^3 −(1/e^3 )−(2/e))),((e^3 −(1/e^3 )−(2/e)),(e^3 −(1/e^3 ))) )

$$\mathrm{A}\:=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix}\: \\ $$$$\mathrm{A}^{\mathrm{2}} \:=\begin{pmatrix}{\mathrm{5}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4}}\\{\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}}\end{pmatrix}\:\:=\:\mathrm{2A}+\mathrm{3I} \\ $$$$\mathrm{A}^{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{AA}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{A}\left(\mathrm{2A}+\mathrm{3I}\right)\:=\:\mathrm{7A}+\mathrm{6I} \\ $$$$... \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{A}^{{n}} \:=\:{a}_{{n}} \mathrm{A}+{b}_{{n}} \mathrm{I},\:{a}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{1},\:{b}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{A}^{{n}+\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{AA}^{{n}} \:=\:\mathrm{A}\left({a}_{{n}} \mathrm{A}+{b}_{{n}} \mathrm{I}\right) \\ $$$$\mathrm{A}^{{n}+\mathrm{1}} \:=\:{a}_{{n}} \mathrm{A}^{\mathrm{2}} +{b}_{{n}} \mathrm{A} \\ $$$$\mathrm{A}^{{n}+\mathrm{1}} \:=\:\left(\mathrm{2}{a}_{{n}} +{b}_{{n}} \right)\mathrm{A}+\mathrm{3}{a}_{{n}} \mathrm{I} \\ $$$$\Rightarrow\:\begin{cases}{{a}_{{n}+\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{2}{a}_{{n}} +{b}_{{n}} \:\left(\mathrm{1}\right)}\\{{b}_{{n}+\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{3}{a}_{{n}} \:\left(\mathrm{2}\right)}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\::\:{a}_{{n}+\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2}{a}_{{n}+\mathrm{1}} +{b}_{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2}{a}_{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{3}{a}_{{n}} ,\:{a}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{1},\:{a}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[\mathrm{3}^{{n}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \right] \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\::\:{b}_{{n}} \:=\:\mathrm{3}{a}_{{n}−\mathrm{1}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[\mathrm{3}^{{n}} +\mathrm{3}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \right] \\ $$$$\mathrm{A}^{{n}} \:=\:{a}_{{n}} \mathrm{A}+{b}_{{n}} \mathrm{I} \\ $$$$\mathrm{A}^{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{\mathrm{3}^{{n}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }&{\mathrm{3}^{{n}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }\\{\mathrm{3}^{{n}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }&{\mathrm{3}^{{n}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{A}^{−{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }&{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }\\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }&{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }\end{pmatrix} \\ $$$${e}^{\mathrm{A}} \:=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\mathrm{A}^{{n}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{3}^{{n}} }{{n}!}\:=\:{e}^{\mathrm{3}} ,\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} {n}!}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} },\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{e}} \\ $$$${e}^{\mathrm{A}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{{e}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{e}}}&{{e}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{e}}}\\{{e}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{e}}}&{{e}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{e}}}\end{pmatrix} \\ $$$${e}^{−\mathrm{A}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{{e}}}&{\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{{e}}}\\{\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{{e}}}&{\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{{e}}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{coshA}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({e}^{\mathrm{A}} +{e}^{−\mathrm{A}} \right) \\ $$$$\mathrm{coshA}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\begin{pmatrix}{{e}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{2}}{{e}}}&{{e}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }}\\{{e}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }}&{{e}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{2}}{{e}}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{sinhA}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({e}^{\mathrm{A}} −{e}^{−\mathrm{A}} \right) \\ $$$$\mathrm{sinhA}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\begin{pmatrix}{{e}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }}&{{e}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{2}}{{e}}}\\{{e}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{2}}{{e}}}&{{e}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{3}} }}\end{pmatrix} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 29/Jan/21

thank you sir Olaf

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{Olaf} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Jan/21

1)p_c (A)=det(A−xI) = determinant (((1−x 2)),((2 1−x)))=(1−x)^2 −4 =(1−x−2)(1−x+2)=(−x−1)(3−x) =(x+1)(x−3) ⇒λ_1 =−1 and λ_2 =3 x^n =q(x)p(x) +u_n x+v_n we get (−1)^n =−u_n +v_n and 3^n =3u_n +v_n ⇒ { ((−u_n +v_n =(−1)^n )),((3u_n +v_n =3^n ⇒ { ((4u_n =3^n −(−1)^n ⇒ { ((u_n =((3^n −(−1)^n )/4))),((v_n =((3^n −(−1)^n )/4)+(−1)^n )) :})),((v_n =u_n +(−1)^n )) :})) :} ⇒ { ((u_n =((3^n −(−1)^n )/4))),((v_n =((3^(n ) +3(−1)^n )/4))) :} A^n =u_n A +v_n I =((3^n −(−1)^n )/4) (((1 2)),((2 1)) ) +((3^n +3(−1)^n )/4) (((1 0)),((0 1)) ) = (((((3^n −(−1)^n )/4)+((3^n +3(−1)^n )/4) ((3^n −(−1)^n )/2))),((((3^n −(−1)^n )/2) ((3^n −(−1)^n )/4)+((3^n +3(−1)^n )/4))) ) = (((((2.3^n +2(−1)^n )/4) ((3^n −(−1)^n )/2))),((((3^n −(−1)^n )/2) ((2.3^n +2(−1)^n )/4))) ) = (((((3^n +(−1)^n )/2) ((3^n −(−1)^n )/2))),((((3^n −(−1)^n )/2) ((3^n +(−1)^n )/2))) ) e^A =Σ_(n=0) ^∞ (A^n /(n!)) =(1/2) (((Σ_(n=0) ^∞ (3^n /(n!))+Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(n!)) Σ_(n=0) ^∞ (3^n /(n!))−Σ_(n0) (((−1)^n )/(n!)))),(((.....) .....)) ) =(1/2) (((e^3 +e^(−1) e^3 −e^(−1) )),((e^3 −e^(−1) e^3 +e^(−1) )) )

$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{p}_{\mathrm{c}} \left(\mathrm{A}\right)=\mathrm{det}\left(\mathrm{A}−\mathrm{xI}\right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−\mathrm{x}}\end{vmatrix}=\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4} \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)=\left(−\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Rightarrow\lambda_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\lambda_{\mathrm{2}} =\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{n}} =\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\:+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}+\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:=−\mathrm{u}_{\mathrm{n}} +\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{3}^{\mathrm{n}} =\mathrm{3u}_{\mathrm{n}} \:+\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\begin{cases}{−\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \:+\mathrm{v}_{\mathrm{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\\{\mathrm{3u}_{\mathrm{n}} +\mathrm{v}_{\mathrm{n}} =\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{4u}_{\mathrm{n}} =\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}}\\{\mathrm{v}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\end{cases}}\\{\mathrm{v}_{\mathrm{n}} =\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\end{cases}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} }{\mathrm{4}}}\\{\boldsymbol{\mathrm{v}}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}} =\frac{\mathrm{3}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}\:} +\mathrm{3}\left(−\mathrm{1}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} }{\mathrm{4}}}\end{cases} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{A}}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{A}\:+\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\:+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{3}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix} \\ $$$$=\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} +\mathrm{3}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}}\\{\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{3}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}}\end{pmatrix} \\ $$$$=\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}} +\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}}\\{\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}}\end{pmatrix} \\ $$$$=\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}}\\{\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{A}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{A}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}\:\:\:\:\:\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}−\sum_{\mathrm{n0}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}}\\{\left(.....\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:.....}\end{pmatrix} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \:\:+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }\end{pmatrix} \\ $$$$ \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 29/Jan/21

e^(−A) =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n A^n )/(n!)) =(1/2) (((Σ_(n=0) ^∞ (((−3)^n )/(n!))+Σ_(n=0) ^∞ (1/(n!)) Σ_(n=0) ^∞ (((−3)^n )/(n!))−Σ_(n=0) ^∞ (1/(n!)) )),(((.......) (.....))) ) =(1/2) (((e^(−3) +e e^(−3) −e)),((e^(−3) −e e^(−3) +e)) )

$$\mathrm{e}^{−\mathrm{A}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{A}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!}\:}\\{\left(.......\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(.....\right)}\end{pmatrix} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} \:+\mathrm{e}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} −\mathrm{e}}\\{\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} −\mathrm{e}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} \:+\mathrm{e}}\end{pmatrix} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 29/Jan/21

ch(A) =(1/2)(e^A +e^(−A) ) =(1/4) (((e^3 +e^(−1) e^3 −e^(−1) )),((e^3 −e^(−1) e^3 +e^(−1) )) ) +(1/4) (((e^(−3) +e e^(−3) −e)),((e^(−3) −e e^(−3) +e)) ) =(1/4) ((( e^3 +e^(−1) +e^(−3) +e e^3 −e^(−1) +e^(−3) −e)),((e^3 −e^(−1) +e^(−3) −e e^3 +e^(−1) +e^(−3) +e)) )

$$\mathrm{ch}\left(\mathrm{A}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{A}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{A}} \right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\begin{pmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }\end{pmatrix} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\begin{pmatrix}{\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} \:+\mathrm{e}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} −\mathrm{e}}\\{\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} \:−\mathrm{e}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} \:+\mathrm{e}}\end{pmatrix} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\begin{pmatrix}{\:\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} \:+\mathrm{e}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} −\mathrm{e}}\\{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} −\mathrm{e}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} +\mathrm{e}}\end{pmatrix} \\ $$$$ \\ $$

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