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Question Number 131027 by Algoritm last updated on 31/Jan/21

Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Jan/21

$${\cos }^{2\mathrm{m}}\mathrm{x}={\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ix}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{ix}}}{2}\right)}^{2\mathrm{m}}=\frac{1}{2^{2\mathrm{m}}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{m}}^{\mathrm{k}}{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{ix}}\right)}^{\mathrm{k}}{\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{ix}}\right)}^{(2\mathrm{m}-\mathrm{k})}$$$$=\frac{1}{2^{2\mathrm{m}}}\sum _{\mathrm{m}=0}^{2\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{m}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{ikx}}{\mathrm{e}}^{-(2\mathrm{m}-\mathrm{k})\mathrm{ix}}$$$$=\frac{1}{2^{2\mathrm{m}}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{m}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{(\mathrm{ik}-2\mathrm{mi}+\mathrm{ik})\mathrm{x}}$$$$=\frac{1}{2^{2\mathrm{m}}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{m}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{(2\mathrm{k}-2\mathrm{m})\mathrm{ix}}\Rightarrow 2^{2\mathrm{m}}{\cos }^{2\mathrm{m}}\mathrm{x}=\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{m}}^{\mathrm{k}}\{\cos (2\mathrm{k}-2\mathrm{m})\mathrm{x}$$$$+\mathrm{isin}(2\mathrm{k}-2\mathrm{m})\mathrm{x}\}\mathrm{but}{2}^{2\mathrm{m}}{\cos }^{2\mathrm{m}}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{real}\Rightarrow$$$$2^{2\mathrm{m}}{\cos }^{2\mathrm{m}}\mathrm{x}=\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{m}}^{\mathrm{k}}\cos (2\mathrm{m}-2\mathrm{k})\mathrm{x}\mathrm{and}$$$$\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{m}}^{\mathrm{k}}\sin (2\mathrm{k}-2\mathrm{m})\mathrm{x}=0$$

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