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Question Number 131050 by mathmax by abdo last updated on 31/Jan/21

let f(x)=∫_0 ^∞ ((tsin(xt))/((x^2 +t^2 )^2 ))dt (x>0) calculate f^′ (x)

$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{tsin}\left(\mathrm{xt}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:\:\:\left(\mathrm{x}>\mathrm{0}\right) \\ $$ $$\mathrm{calculate}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 02/Feb/21

changement t=xz give f(x)=∫_0 ^∞ ((xzsin(x^2 z))/(x^4 (z^2 +1)^2 ))xdz =(1/x^2 )∫_0 ^∞ ((zsin(x^2 z))/((z^2 +1)^2 ))dz ⇒f(x)=(1/(2x^2 ))∫_(−∞) ^(+∞) ((zsin(x^2 z))/((z^2 +1)^2 ))dz =(1/(2x^2 ))Im(∫_(−∞) ^(+∞) ((ze^(ix^2 z) )/((z^2 +1)^2 ))dz) ⇒ϕ(z)=((z e^(ix^2 z) )/((z^2 +1)^2 )) ⇒ϕ(z)=((ze^(ix^2 z) )/((z−i)^2 (z+i)^2 )) residus theorem give ∫_R ϕ(z)dz =2iπRes(ϕ,i) Res(ϕ,i)=lim_(z→i) (1/((2−1)!)){(z−i)^2 ϕ(z)}^((1)) =lim_(z→i) { ((ze^(ix^2 z) )/((z+i)^2 ))}^((1)) =lim_(z→i) (((e^(ix^2 z) +ix^2 z e^(ix^2 z) )(z+i)^2 −2(z+i)ze^(ix^2 z) )/((z+i)^4 )) =lim_(z→i) ((e^(ix^2 z) (1+ix^2 z)(z+i)−2ze^(ix^2 z) )/((z+i)^3 )) =((e^(−x^2 ) (1−x^2 )(2i)−2i e^(−x^2 ) )/((2i)^3 )) =((2i{ (1−x^2 )e^(−x^2 ) −e^(−x^2 ) })/(−8i)) =−(1/4)(−x^2 )e^(−x^2 ) =(x^2 /4)e^(−x^2 ) ⇒∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ×(x^2 /4)e^(−x^2 ) =((iπx^2 )/2)e^(−x^2 ) ⇒f(x)=(1/(2x^2 )).(π/2)x^2 e^(−x^2 ) =(π/4)e^(−x^2 ) ⇒ f^′ (x)=(π/4)(−2x)e^(−x^2 ) =−((πx)/2)e^(−x^2 )

$$\mathrm{changement}\:\mathrm{t}=\mathrm{xz}\:\mathrm{give}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{xzsin}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{xdz} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{zsin}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}\right)}{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dz}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{zsin}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}\right)}{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dz}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{ze}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dz}\right) \\ $$ $$\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{z}\:\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{ze}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{residus}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{give} \\ $$ $$\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right) \\ $$ $$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$ $$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\left\{\:\frac{\mathrm{ze}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\frac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}} +\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}\:\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\mathrm{ze}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$ $$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)−\mathrm{2ze}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$ $$=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{2i}\right)−\mathrm{2i}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{2i}\left\{\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \right\}}{−\mathrm{8i}} \\ $$ $$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\Rightarrow\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$=\frac{\mathrm{i}\pi\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }.\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\Rightarrow \\ $$ $$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(−\mathrm{2x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:=−\frac{\pi\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$

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