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Question Number 131253 by bramlexs22 last updated on 03/Feb/21

Solve (D^2 −3D+2)y = 2x^3 by operator D method

$${Solve}\:\left({D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{D}+\mathrm{2}\right){y}\:=\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} \\ $$$${by}\:{operator}\:{D}\:{method}\: \\ $$

Answered by liberty last updated on 03/Feb/21

y_h (x)= C_1 e^x +C_2 e^(2x) and we may use a trial function of the form ax^3 +bx^2 +cx+d to find a particular solution and we get y_p (x)=x^3 +((9x^2 )/2)+((21x)/2)+((45)/4) then general solution y(x)=y_h (x)+y_p (x) However a more direct approach to find this particular solution is possible as well consider (1/(1−x)) = Σ_(k=0) ^∞ x^k , plug in x = D (1/(1−D)) = Σ_(k=0) ^∞ D^k . If we apply this operator to 2x^3 we find that D^k (2x^3 )= 0 for k>3 so (1/(1−D))(2x^3 )=(1+D+D^2 +D^3 )(2x^3 ) = 2x^3 +6x^2 +12x+12 Now y_p (x)=(1/((D−1)(D−2)))(2x^3 ) = (1/((1−D)(2−D)))(2x^3 ) y_p (x) = (1/(2−D))(2x^3 +6x^2 +12x+12) y_p (x) = (1/(1−((D/2))))(x^3 +3x^2 +6x+6) y_p (x)=(1+(D/2)+(D^2 /4)+(D^3 /8))(x^3 +3x^2 +6x+6) y_p (x) = x^3 +3x^2 +6x+6+((3x^2 )/2)+3x+3+((3x)/2)+(3/2)+(3/4) = x^3 +((9x^2 )/2)+((21x)/2)+((45)/4)

$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{we}\:\mathrm{may}\:\mathrm{use}\:\mathrm{a}\:\mathrm{trial}\:\mathrm{function}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{form} \\ $$$${ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}+{d}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{a}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{21x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{However}\:\mathrm{a}\:\mathrm{more}\:\mathrm{direct}\:\mathrm{approach}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find} \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{as}\:\mathrm{well} \\ $$$$\mathrm{consider}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:=\:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:,\:\mathrm{plug}\:\mathrm{in}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{D} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{D}}\:=\:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\mathrm{D}^{\mathrm{k}} \:.\:\mathrm{If}\:\mathrm{we}\:\mathrm{apply}\:\mathrm{this}\:\mathrm{operator} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\mathrm{that}\:\mathrm{D}^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \right)=\:\mathrm{0}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}>\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{so}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{D}}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \right)=\left(\mathrm{1}+\mathrm{D}+\mathrm{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{D}^{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12x}+\mathrm{12} \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{D}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{D}−\mathrm{2}\right)}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{D}\right)\left(\mathrm{2}−\mathrm{D}\right)}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\:\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\mathrm{D}}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12x}+\mathrm{12}\right) \\ $$$$\:\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{2}}\right)}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}+\mathrm{6}\right)\: \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{D}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{D}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{8}}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}+\mathrm{6}\right) \\ $$$$\:\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}+\mathrm{6}+\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{3x}+\mathrm{3}+\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{21x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{4}} \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 03/Feb/21

y′′−3y′+2y=2x^3 HE: m^2 −3m+2=0, m=2, m=1 y_(gh) =Ae^(2x) +Be^x y_p =A(x)e^(2x) +B(x)e^x =au+bv { ((a′u+b′v=0),(...(1))),((a′u′+b′v′=2x^3 ),(...(2))) :} W(u,v)= determinant ((u,v),((u′),(v′)))= determinant ((e^(2x) ,e^x ),((2e^(2x) ),e^x ))=−e^(3x) W_u = determinant ((0,e^x ),((2x^3 ),e^x ))=−2x^3 e^x , W_v = determinant ((e^(2x) ,0),((2e^(2x) ),(2x^3 )))=2x^3 e^(2x) a=∫(W_u /W)dx=∫2x^3 e^(−2x) dx=2{−(x^3 /2)e^(−2x) +(3/2)∫x^2 e^(−2x) dx} =−x^3 e^(−2x) +3{−(x^2 /2)e^(−2x) +∫xe^(−2x) dx} =−x^3 e^(−2x) −((3x^2 )/2)e^(−2x) +3{−(x/2)e^(−2x) +(1/2)∫e^(−2x) dx} =−x^3 e^(−2x) −((3x^2 )/2)e^(−2x) −((3x)/2)e^(−2x) −(3/4)e^(−2x) +C_1 b=∫(W_v /W)dx=−∫2x^3 e^(−x) (/)dx=−2{−x^3 e^(−x) +3∫x^2 e^(−x) dx} =2x^3 e^(−x) −6{−x^2 e^(−x) +2∫xe^(−x) dx} =2x^3 e^(−x) +6x^2 e^(−x) −12{−xe^(−x) +∫e^(−x) dx} =2x^3 e^(−x) +6x^2 e^(−x) +12xe^(−x) +12e^(−x) +C_2 y_p =A(x)e^(2x) +B(x)e^x , Y_G =y_(gh) +y_p Y_G =αe^(2x) +βe^x −(x^3 +((3x^2 )/2)+((3x)/2)+(3/4))+(2x^3 +6x^2 +12x+12) =αe^(2x) +βe^x +x^3 +((9x^2 )/2)+((21x)/2)+((45)/4)

$$\mathrm{y}''−\mathrm{3y}'+\mathrm{2y}=\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{HE}:\:\mathrm{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3m}+\mathrm{2}=\mathrm{0},\:\mathrm{m}=\mathrm{2},\:\mathrm{m}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{gh}} =\mathrm{Ae}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{Be}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{B}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} =\mathrm{au}+\mathrm{bv} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{a}'\mathrm{u}+\mathrm{b}'\mathrm{v}=\mathrm{0}}&{...\left(\mathrm{1}\right)}\\{\mathrm{a}'\mathrm{u}'+\mathrm{b}'\mathrm{v}'=\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} }&{...\left(\mathrm{2}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u},\mathrm{v}\right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{u}}&{\mathrm{v}}\\{\mathrm{u}'}&{\mathrm{v}'}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }&{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\\{\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} }&{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{u}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}}&{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\\{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} }&{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:,\:\:\mathrm{W}_{\mathrm{v}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} }&{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} }\end{vmatrix}=\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{a}=\int\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{u}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}=\int\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{dx}=\mathrm{2}\left\{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\mathrm{3}\left\{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\int\mathrm{xe}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\mathrm{3}\left\{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{b}=\int\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{v}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}=−\int\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \frac{}{}\mathrm{dx}=−\mathrm{2}\left\{−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{3}\int\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{6}\left\{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{2}\int\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{12}\left\{−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} +\int\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{12xe}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{12e}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{B}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} ,\:\mathrm{Y}_{\mathrm{G}} =\mathrm{y}_{\mathrm{gh}} +\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$$$\mathrm{Y}_{\mathrm{G}} =\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\beta\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)+\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12x}+\mathrm{12}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\beta\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{21x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{4}} \\ $$

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