Question Number 131298 by liberty last updated on 03/Feb/21
$$\mathrm{Let}\:\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{3x}\right)=\pi \\ $$$$.\mathrm{If}\:\mathrm{x}\:\mathrm{satisfies}\:\mathrm{the}\:\mathrm{cubic}\:\mathrm{ax}^{\mathrm{3}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{cx}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\:\mathrm{has}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\: \\ $$
Answered by mr W last updated on 03/Feb/21
$$\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} {x}+\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2}{x}\right)=\mathrm{cos}\:\left(\pi−\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \mathrm{3}{x}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \right)}=−\mathrm{3}{x} \\ $$$$\sqrt{\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \right)}=\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{12}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{12}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{14}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\equiv{ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{a}=\mathrm{12},\:{b}=\mathrm{14},\:{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{a}+{b}+{c}=\mathrm{26} \\ $$