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Question Number 131517 by benjo_mathlover last updated on 05/Feb/21

Given ∫_0 ^3 f(x)dx=∫_0 ^3 (2x−1)dx+∫_0 ^3 (∫_0 ^3 f(x)dx)dx  find ∫_(−1) ^1 f(x)dx .

$$\mathrm{Given}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \left(\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{find}\:\underset{−\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:. \\ $$

Answered by EDWIN88 last updated on 05/Feb/21

let ∫_0 ^3 f(x)dx =ℓ ⇒ℓ=[ x^2 −x]_0 ^3  + ∫_0 ^3 ℓ dx  ℓ = 6+3ℓ ; ℓ = −3 or ∫_0 ^3 f(x)dx =−3  then −3 = ∫_0 ^3 (2x−1)dx+∫_0 ^3 −3dx  ⇒ −3 = ∫_0 ^3 (2x−4)dx ⇒∫_0 ^3 f(x)dx =∫_0 ^3 (2x−4)dx  by theorem ∫_a ^b f(x)dx=∫_a ^b f(a+b−x)dx  we have ∫_0 ^3 f(x)dx=∫_0 ^3 f(3−x)dx ; so   f(3−x) = 2x−4 or f(x)=2(3−x)−4=2−2x  Now ∫_(−1) ^1 f(x)dx = ∫_(−1) ^1 (2−2x)dx=[ 2x−x^2  ]_(−1) ^1   = (1)−(−3)= 4.  check if f(x)=2−2x ⇒∫_0 ^3 f(x)dx=∫_0 ^3 (2−2x)dx   = [ 2x−x^2 ]_0 ^3  = 6−9=−3 (true)

$$\mathrm{let}\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\ell\:\Rightarrow\ell=\left[\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \:+\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \ell\:\mathrm{dx} \\ $$$$\ell\:=\:\mathrm{6}+\mathrm{3}\ell\:;\:\ell\:=\:−\mathrm{3}\:\mathrm{or}\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{then}\:−\mathrm{3}\:=\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{dx}+\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}−\mathrm{3dx} \\ $$$$\Rightarrow\:−\mathrm{3}\:=\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{4}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{4}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{theorem}\:\underset{\mathrm{a}} {\overset{\mathrm{b}} {\int}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{a}} {\overset{\mathrm{b}} {\int}}\mathrm{f}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\mathrm{f}\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:;\:\mathrm{so}\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{2x}−\mathrm{4}\:\mathrm{or}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)−\mathrm{4}=\mathrm{2}−\mathrm{2x} \\ $$$$\mathrm{Now}\:\underset{−\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\:\underset{−\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\left(\mathrm{2}−\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}=\left[\:\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\right]_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\:\left(\mathrm{1}\right)−\left(−\mathrm{3}\right)=\:\mathrm{4}. \\ $$$$\mathrm{check}\:\mathrm{if}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2}−\mathrm{2x}\:\Rightarrow\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\left(\mathrm{2}−\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:=\:\left[\:\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{6}−\mathrm{9}=−\mathrm{3}\:\left(\mathrm{true}\right)\: \\ $$

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