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Question Number 132150 by mohammad17 last updated on 11/Feb/21

$$Solve:\frac{\mid x+2\mid }{x-4}⩽\frac{1}{\mid x\mid }$$

Answered by benjo_mathlover last updated on 11/Feb/21

$$\mathrm{case}\left(1\right)\mathrm{x}>0\Rightarrow \frac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-4}-\frac{1}{\mathrm{x}}⩽0$$$$\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-\mathrm{x}+4}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-4)}⩽0;\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+4}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-4)}⩽0$$$$0<\mathrm{x}<4\Rightarrow \mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{solution}0<\mathrm{x}<4$$$$\mathrm{case}\left(2\right)\mathrm{x}⩽-2\Rightarrow \frac{-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-4}+\frac{1}{\mathrm{x}}⩽0$$$$\frac{-{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+\mathrm{x}-4}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-4)}⩽0;\frac{-{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-4}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-4)}⩽0$$$$\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+4}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-4)}⩾0;\mathrm{x}<0\cup \mathrm{x}>4\Rightarrow \mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{solution}\mathrm{x}⩽-2$$$$\mathrm{case}\left(3\right)-2⩽\mathrm{x}<0\Rightarrow \frac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-4}+\frac{1}{\mathrm{x}}⩽0$$$$\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+\mathrm{x}-4}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-4)}⩽0;\frac{{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-4}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-4)}⩽0$$$$\frac{(\mathrm{x}+4)(\mathrm{x}-1)}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-4)}⩽0;1⩽\mathrm{x}<4\cup \mathrm{x}⩽-4$$$$\mathrm{no}\mathrm{solution}$$$$\mathrm{therefore}\mathrm{solution}\mathrm{is}\mathrm{x}⩽-2\cup 0<\mathrm{x}<4$$$$\mathrm{checking}$$$$\mathrm{x}=-3\Rightarrow \frac{1}{-7}⩽\frac{1}{3}\left(\mathrm{true}\right)$$$$\mathrm{x}=3\Rightarrow \frac{5}{-1}⩽\frac{1}{3}\left(\mathrm{true}\right)$$$$$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Feb/21

$$\mathrm{e}\Rightarrow \frac{\mid \mathrm{x}+2\mid }{\mathrm{x}-4}-\frac{1}{\mid \mathrm{x}\mid }⩽0\Rightarrow \frac{\mid \mathrm{x}\mid \mid \mathrm{x}+2\mid -\mathrm{x}+4}{\mid \mathrm{x}\mid (\mathrm{x}-4)}⩽0\mathrm{let}\mathrm{hid}\mathrm{the}\mathrm{absolute}\mathrm{value}$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mid \mathrm{x}\mid \mid \mathrm{x}+2\mid -\mathrm{x}+4}{\mid \mathrm{x}\mid (\mathrm{x}-4)}$$$$\mathrm{x}-\mathrm{\infty }-204+\mathrm{\infty }$$$$\mid \mathrm{x}\mid -\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{x}$$$$\mid \mathrm{x}+2\mid -\mathrm{x}-20\mathrm{x}+2\mathrm{x}+2\mathrm{x}+2$$$$\mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+4-{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+4{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+4{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+4$$$$\mathrm{D}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+4}{-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}}\frac{-{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+4}{-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}}\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+4}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}}\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+4}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}}$$$$\mathrm{now}\mathrm{its}\mathrm{eazy}\mathrm{to}\mathrm{solve}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)⩽0\mathrm{following}\mathrm{the}\mathrm{intervals}....$$

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