Question Number 133369 by mnjuly1970 last updated on 21/Feb/21
$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{calculus}\:\left(\mathrm{2}\right)..... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\frac{{ln}\left(\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}+\mathrm{1}}\right)}{{x}}\right){dx}\:=??? \\ $$$$ \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 21/Feb/21
$$\frac{{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 21/Feb/21
$${correct}... \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Feb/21
![Φ=∫_1 ^2 (1/x)ln(((x+2)/(x+1)))dx we do the changement (1/x)=t ⇒ Φ=∫_1 ^(1/2) tln((((1/t)+2)/((1/t)+1)))(−(dt/t^2 )) =∫_(1/2) ^1 (1/t)ln(((1+2t)/(1+t)))dt =∫_(1/2) ^1 ((ln(1+2t))/t)dt−∫_(1/2) ^1 ((ln(1+t))/t)dt =H−K K =[lnt.ln(1+t)]_(1/2) ^1 −∫_(1/2) ^1 ((ln(t))/(t+1))dt =−ln((1/2))ln((3/2))−∫_(1/2) ^1 ((ln(t))/(1+t))dt and ∫_(1/2) ^1 ((ln(t))/(1+t))dt =∫_(1/2) ^1 ln(t)Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n t^n dt =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n ∫_(1/2) ^1 t^n ln(t)dt=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n u_n u_n =[(t^(n+1) /(n+1))lnt]_(1/2) ^1 −∫_(1/2) ^1 (t^(n+1) /(n+1))(dt/t) =−ln((1/2))(1/((n+1)2^(n+1) ))−(1/(n+1))∫_(1/2) ^1 t^n dt =((ln(2))/((n+1)2^n ))−(1/((n+1)^2 ))(1−(1/2^(n+1) )) ⇒ ∫_(1/2) ^1 ((lnt)/(1+t))dt =ln2Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/((n+1)2^n ))−Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/((n+1)^2 ))+Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/((n+1)^2 .2^(n+1) )) rest calculus of those series... H=∫_(1/2) ^1 ((ln(1+2t))/t)dt =_(2t=y) 2 ∫_1 ^2 ((ln(1+y))/y)(dy/2) =_(y=u+1) ∫_o ^1 ((ln(u+2))/(u+1))du =∫_0 ^1 ln(2+u)Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n u^n du =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n ∫_0 ^1 u^n ln(2+u)du =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n v_n v_n =[(u^(n+1) /(n+1))ln(2+u)]_0 ^1 −∫_0 ^1 (u^(n+1) /(n+1))(du/(2+u)) =((ln(3))/(n+1))−(1/(n+1))∫_0 ^1 (u^(n+1) /(u+2))du =....be continued....](Q133399.png)
$$\Phi=\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi=\int_{\mathrm{1}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \mathrm{tln}\left(\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\mathrm{2}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\mathrm{1}}\right)\left(−\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)\:=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{H}−\mathrm{K} \\ $$$$\mathrm{K}\:=\left[\mathrm{lnt}.\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\mathrm{and} \\ $$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{lnt}\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}\:=−\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{ln2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} .\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{calculus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{those}\:\mathrm{series}... \\ $$$$\mathrm{H}=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{2t}=\mathrm{y}} \:\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=_{\mathrm{y}=\mathrm{u}+\mathrm{1}} \:\:\:\:\int_{\mathrm{o}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{u}+\mathrm{1}}\mathrm{du}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2}+\mathrm{u}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{u}^{\mathrm{n}} \mathrm{du} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2}+\mathrm{u}\right)\mathrm{du}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{v}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}+\mathrm{u}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{2}+\mathrm{u}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{u}+\mathrm{2}}\mathrm{du}\:=....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}.... \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 22/Feb/21
