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Question Number 134058 by john_santu last updated on 27/Feb/21

J = ∫ (dx/(1+tan x+csc x+cot x+sec x))

$$\mathcal{J}\:=\:\int\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{x}+\mathrm{csc}\:{x}+\mathrm{cot}\:{x}+\mathrm{sec}\:{x}} \\ $$

Answered by john_santu last updated on 27/Feb/21

J=∫ (dx/(1+((sin x)/(cos x))+(1/(sin x))+((cos x)/(sin x))+(1/(cos x)))) = ∫ ((cos x sin x)/(sin xcos x+sin^2 x+cos^2 x+sin x)) = ∫ ((sin x cos x(1−sin x)(1−cos x))/((sin xcos x+1+sin x)(1−sin x)(1−cos x))) dx = ∫ ((sin x cos x(1−sin x)(1−cos x) dx)/((1+sin x+sin xcos x)(1−sin x)(1−cos x))) = ∫ ((sin xcos x(1−sin x)(1−cos x) dx)/((1+sin x+sin xcos x)(1−sin x−cos x+sin xcos x))) =∫ ((sin x cos x(1−sin x)(1−cos x))/(sin^2 x cos^2 x)) dx = ∫ (((1−sin x)(1−cos x))/(sin x cos x)) dx = ∫(1−sec x−csc x +sec x csc x )dx = 2∫ csc 2x dx−ln ∣sec x+tan x∣ +x+ln ∣cot x+csc x∣ = −ln ∣cot 2x+csc 2x∣ −ln ∣sec x+tan x∣ + ln ∣cot x+csc x∣ + x + c

$$\mathcal{J}=\int\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{cos}\:{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:{x}}+\frac{\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:{x}}} \\ $$$$\:=\:\int\:\frac{\mathrm{cos}\:{x}\:\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\left(\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)}\:{dx} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)\:{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)\:{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}\right)} \\ $$$$=\int\:\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}}\:{dx} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}}\:{dx} \\ $$$$=\:\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{sec}\:{x}−\mathrm{csc}\:{x}\:+\mathrm{sec}\:{x}\:\mathrm{csc}\:{x}\:\right){dx} \\ $$$$=\:\mathrm{2}\int\:\mathrm{csc}\:\mathrm{2}{x}\:{dx}−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:{x}+\mathrm{tan}\:{x}\mid\:+{x}+\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{cot}\:{x}+\mathrm{cs}{c}\:{x}\mid\: \\ $$$$=\:−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{cot}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{csc}\:\mathrm{2}{x}\mid\:−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:{x}+\mathrm{tan}\:{x}\mid\:+ \\ $$$$\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{cot}\:{x}+\mathrm{csc}\:{x}\mid\:+\:{x}\:+\:{c} \\ $$

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