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Question Number 134079 by mnjuly1970 last updated on 27/Feb/21

.....mathematical analysis..... prove that:: 1: 𝛗=∫_0 ^( 1) ln(Ξ“(x))cos^2 (Ο€x)dx=((ln(2Ο€))/4)+(Ο€/8) ..βœ“ 2: lim_(nβ†’βˆž) ((Ξ“(n+1)Ξ“(n+2))/(Ξ“^2 (n+(3/2)))) =1...βœ“

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:.....{mathematical}\:\:\:\:{analysis}..... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{prove}\:\:{that}:: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {ln}\left(\Gamma\left({x}\right)\right){cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi{x}\right){dx}=\frac{{ln}\left(\mathrm{2}\pi\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\pi}{\mathrm{8}}\:..\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}:\:\:{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \frac{\Gamma\left({n}+\mathrm{1}\right)\Gamma\left({n}+\mathrm{2}\right)}{\Gamma^{\mathrm{2}} \left({n}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}\:=\mathrm{1}...\checkmark \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Feb/21

Ξ¦=∫_0 ^1 ln(Ξ“(x)cos^2 (Ο€x)dx changement x=1βˆ’t give Ξ¦ =∫_0 ^1 ln(Ξ“(1βˆ’x))cos^2 (Ο€x)dt we know Ξ“(x).Ξ“(1βˆ’x)=(Ο€/(sin(Ο€x))) β‡’ln(Ξ“(x))+ln(Ξ“(1βˆ’x))=ln(Ο€)βˆ’ln(sin(Ο€x)) β‡’ ∫_0 ^1 ln(Ξ“(x))cos^2 (Ο€x)dx +∫_0 ^1 ln(Ξ“(1βˆ’x))cos^2 (Ο€x)dx =ln(Ο€)∫_0 ^1 cos^2 (Ο€x)dxβˆ’βˆ«_0 ^1 ln(sin(Ο€x)cos^2 (Ο€x)dx β‡’ 2Ξ¦ =((ln(Ο€))/2)∫_0 ^1 (1+cos(2Ο€x))dxβˆ’(1/2)∫_0 ^1 (1+cos(2Ο€x))ln(sinΟ€x)dx we have ∫_0 ^1 (1+cos(2Ο€x)dx =1+[(1/(2Ο€))sin(2Ο€x)]_0 ^1 =1 ∫_0 ^1 (1+cos(2Ο€x))ln(sin(Ο€x))dx=∫_0 ^1 ln(sin(Ο€x))dx +∫_0 ^1 cos(2Ο€x)ln(sin(Ο€x)dx and∫_0 ^1 ln(sin(Ο€x))dx=_(Ο€x=t) ∫_0 ^Ο€ ln(sint)(dt/Ο€) =(1/Ο€)(∫_0 ^(Ο€/2) ln(sint)dt +∫_(Ο€/2) ^Ο€ ln(sint)dt(β†’t=(Ο€/2)+u) =(1/Ο€)(βˆ’(Ο€/2)ln(2)βˆ’(Ο€/2)ln(2))=βˆ’ln(2) ∫_0 ^1 cos(2Ο€x)ln(sin(Ο€x)dx =[(1/(2Ο€))sin(2Ο€x)ln(sin(Ο€x)]_0 ^1 βˆ’βˆ«_0 ^1 (1/(2Ο€))sin(2Ο€x)((Ο€cos(Ο€x))/(sin(Ο€x)))dx =βˆ’(1/2)∫_0 ^1 2sin(Ο€x)cos(Ο€x)((cos(Ο€x))/(sin(Ο€x)))dx =βˆ’βˆ«_0 ^1 cos^2 (Ο€x)dx =βˆ’(1/2)∫_0 ^1 (1+cos(2Ο€x))dx =βˆ’(1/2) β‡’ 2Ξ¦ =((ln(Ο€))/2)βˆ’(1/2)(βˆ’ln2 βˆ’(1/2)) =((ln(Ο€))/2)+((ln(2))/2)+(1/4) β‡’ Ξ¦ =((ln(Ο€))/4)+((ln(2))/4)+(1/8) β‡’Ξ¦=((ln(2Ο€))/4)+(1/8)

$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}βˆ’\mathrm{t}\:\mathrm{give}\right. \\ $$$$\Phi\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dt}\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\Gamma\left(\mathrm{x}\right).\Gamma\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{ln}\left(\pi\right)βˆ’\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\pi\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{2}\Phi\:=\frac{\mathrm{ln}\left(\pi\right)}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{1}+\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =\mathrm{1}\right. \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{and}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}=_{\pi\mathrm{x}=\mathrm{t}} \int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sint}\right)\frac{\mathrm{dt}}{\pi}\right. \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\pi}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{sint}\right)\mathrm{dt}\:+\int_{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\pi} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{sint}\right)\mathrm{dt}\left(\rightarrow\mathrm{t}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{u}\right)\right. \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\pi}\left(βˆ’\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)βˆ’\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\right)=βˆ’\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \right.\right. \\ $$$$βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\frac{\pi\mathrm{cos}\left(\pi\mathrm{x}\right)}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{2sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\left(\pi\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{cos}\left(\pi\mathrm{x}\right)}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}\:=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\Phi\:=\frac{\mathrm{ln}\left(\pi\right)}{\mathrm{2}}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(βˆ’\mathrm{ln2}\:\:βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\mathrm{ln}\left(\pi\right)}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi\:=\frac{\mathrm{ln}\left(\pi\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\Rightarrow\Phi=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\pi\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$$ \\ $$

Commented by mnjuly1970 last updated on 27/Feb/21

thank you sir

$$\:\:\:\:{thank}\:{you}\:{sir} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Feb/21

Ξ“(n+1)=n!∼n^n e^(βˆ’n) (√(2Ο€n)) Ξ“(n+2)=(n+1)! ∼(n+1)^(n+1) e^(βˆ’(n+1)) (√(2Ο€(n+1))) Ξ“(n+(3/2)) =(n+(1/2))!∼(n+(1/2))^(n+(1/2)) e^(βˆ’(n+(1/2))) (√(2Ο€(n+(1/2)))) β‡’ Ξ“^2 (n+(3/2))=(n+(1/2))^(2n+1) e^(βˆ’(2n+1)) (2Ο€(n+(1/2))) β‡’ V_n ∼((n^n e^(βˆ’n) (√(2Ο€n)).(n+1)^(n+1) e^(βˆ’(n+1)) (√(2Ο€(n+1))))/((n+(1/2))^(2n+1) e^(βˆ’(2n+1)) Ο€(2n+1))) =((n^(2n+1) e^(βˆ’(2n+1)) (1+(1/n))^(n+1) 2Ο€(√(n^2 +n)))/((n+(1/2))^(2n+1) e^(βˆ’(2n+1)) Ο€(2n+1))) =((n/(n+(1/2))))^(2n+1) (1+(1/n))^(n+1) β‡’ V_n ∼e^((2n+1)ln((n/(n+(1/2))))) .e^((n+1)ln(1+(1/n))) we have ln((n/(n+(1/2))))=ln(1βˆ’(1/(2(n+(1/2)))))=ln(1βˆ’(1/(2n+1)))βˆΌβˆ’(1/(2n+1)) β‡’(2n+1)ln(...)∼e^(βˆ’1) also (n+1)ln(1+(1/n))∼((n+1)/n)∼1 β‡’ e^((n+1)ln(...)) ∼e β‡’lim_(nβ†’+∞) V_n =e^(βˆ’1) .e =1

$$\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{n}!\sim\mathrm{n}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{n}} \sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)=\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!\:\sim\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{βˆ’\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \sqrt{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\:=\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!\sim\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \mathrm{e}^{βˆ’\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \sqrt{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\Gamma^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)=\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{βˆ’\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\left.\mathrm{n}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{n}} \sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}.\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{βˆ’\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \sqrt{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right.}\right)}{\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{βˆ’\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{βˆ’\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{2}\pi\sqrt{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}}}{\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{βˆ’\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{n}} \sim\mathrm{e}^{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)} .\mathrm{e}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)} \:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\simβˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(...\right)\sim\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{1}} \:\:\mathrm{also}\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\sim\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\sim\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{e}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(...\right)} \:\sim\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{V}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{1}} .\mathrm{e}\:=\mathrm{1} \\ $$

Commented by mnjuly1970 last updated on 28/Feb/21

thanks alot sir mathmxax excellent ...tayeballah...

$$\:\:\:{thanks}\:{alot}\:{sir}\:{mathmxax} \\ $$$$\:\:\:{excellent}\:...{tayeballah}... \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 06/Mar/21

your are welcome sir

$$\mathrm{your}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{sir} \\ $$

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