Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Relation and Functions Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Relation and Functions      Next in Relation and Functions      

Question Number 134630 by mathmax by abdo last updated on 06/Mar/21

find the sequence u_n wich verify u_n +u_(n+1) =cosn

$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \mathrm{wich}\:\mathrm{verify}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{cosn} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Mar/21

u_n +u_(n+1) =cos(n) ⇒Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k (u_k +u_(k+1) ) =Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cos(k) ⇒ u_0 +u_1 −(u_1 +u_2 )+....+(−1)^(n−2) (u_(n−2) +u_(n−1) )+(−1)^(n−1) (u_(n−1) +u_n ) =Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cosk ⇒u_0 +(−1)^(n−1) u_n =Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cosk ⇒ (−1)^(n−1) u_n =Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k [cosk−u_0 ⇒ u_n =(−1)^(n−1) Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cos(k)−(−1)^(n−1) u_o ⇒ u_n =(−1)^n u_0 −(−1)^n Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cosk and Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cosk =Re(Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k e^(ik) ) we have Σ_(k=0) ^(n−1) (−e^i )^k =((1−(−e^i )^n )/(1−(−e^i ))) =((1−(−1)^n e^(ni) )/(1+e^i )) =((1−(−1)^n {cosn+isinn})/(1+cos1 +isin1)) =(((1−(−1)^n (cosn+isinn))(1+cos1−isin1))/((1+cos(1))^2 +sin^2 (1))) rest to extract Re (of this quantity)....

$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{cos}\left(\mathrm{n}\right)\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{u}_{\mathrm{k}} +\mathrm{u}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{k}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{0}} +\mathrm{u}_{\mathrm{1}} −\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)+....+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cosk}\:\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{0}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cosk}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \left[\mathrm{cosk}−\mathrm{u}_{\mathrm{0}} \:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{k}\right)−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{u}_{\mathrm{o}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{u}_{\mathrm{0}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cosk}\:\mathrm{and} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cosk}\:=\mathrm{Re}\left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{ik}} \right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{e}^{\mathrm{i}} \right)^{\mathrm{k}} \:=\frac{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{e}^{\mathrm{i}} \right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{e}^{\mathrm{i}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{ni}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left\{\mathrm{cosn}+\mathrm{isinn}\right\}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos1}\:+\mathrm{isin1}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{cosn}+\mathrm{isinn}\right)\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos1}−\mathrm{isin1}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{extract}\:\mathrm{Re}\:\left(\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{quantity}\right).... \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com