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Question Number 135570 by bemath last updated on 14/Mar/21

$$Geometry$$ If the area of the triangle formed by the positive x-axis, the normal and the tangent to the circle (x-2) ² +(y-3) ² =25 at the point (5,7) is A, then 24A is equal to______?\n

Answered by EDWIN88 last updated on 14/Mar/21

Commented byEDWIN88 last updated on 14/Mar/21

$$\mathrm{I}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}$$ $$\mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{s},\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}$$ $$\mathrm{tangent}\mathrm{line}:3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=43\Rightarrow \mathrm{intersect}\mathrm{the}$$ $$\mathrm{x}-\mathrm{axis}\mathrm{at}\mathrm{G}(\frac{43}{3},0)$$ $$\mathrm{normal}\mathrm{line}:4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-1\Rightarrow \mathrm{intersect}\mathrm{the}$$ $$\mathrm{x}-\mathrm{axis}\mathrm{at}\mathrm{P}(-\frac{1}{4},0)\mathrm{and}\mathrm{intersect}\mathrm{the}\mathrm{y}-\mathrm{axis}$$ $$\mathrm{at}\mathrm{R}(0,\frac{1}{3}).$$ $$\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{triangle}\mathrm{is}\mathrm{A}=\frac{1}{2}.7.(\frac{43}{3}+\frac{1}{4})$$ $$\mathrm{A}=\frac{7}{2}.\left(\frac{175}{12}\right)=\frac{1125}{24}.\mathrm{Therefore}$$ $$24\mathrm{A}=1125$$

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