Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Integration Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Integration      Next in Integration      

Question Number 134947 by bobhans last updated on 08/Mar/21

∫_0 ^( 2) ((√(1+x^3 )) + ((x^2 +2x))^(1/3) )dx ?

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \:\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}\:\right)\mathrm{dx}\:?\: \\ $$

Answered by EDWIN88 last updated on 09/Mar/21

I=∫_0 ^( 2) ((√(1+x^3 )) + ((x^2 +2x))^(1/3) ) dx let f(x)=y= ((x^2 +2x))^(1/3) for x∈R and x≤−2 or x≥ 0 (x+1)^2 = y^3 +1 , x+1 = (√(y^3 +1)) x= (√(y^3 +1)) −1 , replace x by y and we get f^(−1) (x)=(√(x^3 +1))−1 so the integral becomes I=∫_0 ^( 2) (f^(−1) (x)+f(x)+1) dx observe the ∫_0 ^( 2) f^(−1) (x) dx . Let f^(−1) (x)=u →x = f(u) and dx = f ′(u) so ∫_0 ^( 2) u f ′(u) du = uf(u)∣_0 ^2 −∫_0 ^( 2) f(u) du. therefore I = 2f(2)+∫_0 ^( 2) dx = 2f(2)+2= 6

$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}\:\right)\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{y}=\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\:,\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\:=\:\sqrt{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{x}=\:\sqrt{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:−\mathrm{1}\:,\:\mathrm{replace}\:\mathrm{x}\:\mathrm{by}\:\mathrm{y}\:\mathrm{and}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}−\mathrm{1}\: \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{becomes}\: \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{observe}\:\mathrm{the}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx}\:.\:\mathrm{Let}\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{u} \\ $$$$\rightarrow\mathrm{x}\:=\:\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{so}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \mathrm{u}\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{du} \\ $$$$=\:\mathrm{uf}\left(\mathrm{u}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{du}. \\ $$$$\mathrm{therefore}\:\mathrm{I}\:=\:\mathrm{2f}\left(\mathrm{2}\right)+\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}} \mathrm{dx}\:=\:\mathrm{2f}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}=\:\mathrm{6} \\ $$$$ \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com