Question Number 135252 by mnjuly1970 last updated on 11/Mar/21
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:....{advanced}\:\:\:\:{calculus}.... \\ $$$$\:\:\:\:{first}\:{prove}\:{that}::\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{1}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}β{x}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}{dx}=\frac{β\mathrm{5}}{\mathrm{8}}\:\zeta\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:{then}\:{conclude}\:{that}:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{2}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}{dx}=\frac{\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:....{m}.{n}... \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Mar/21
![Ξ¦_1 =β«_0 ^1 ((ln(1βx))/x)ln(1+x)dx we have ln^β² (1+x)=(1/(1+x))=Ξ£_(n=0) ^β (β1)^n x^n βln(1+x)=Ξ£_(n=0) ^β (β1)^n (x^(n+1) /(n+1)) +c(c=0) =Ξ£_(n=1) ^β (β1)^(nβ1) (x^n /n) β ((ln(1+x))/x)=Ξ£_(n=1) ^β (β1)^(nβ1) (x^(nβ1) /n) βΞ¦_1 =Ξ£_(n=1) ^β (((β1)^(nβ1) )/n)β«_0 ^1 x^(nβ1) ln(1βx)dx A_n =β«_0 ^1 x^(nβ1) ln(1βx)dx =[((x^n β1)/n)ln(1βx)]_0 ^1 +β«_0 ^1 ((x^n β1)/(n(1βx)))dx =β(1/n)β«_0 ^1 ((x^n β1)/(xβ1))dx =β(1/n)β«_0 ^1 (1+x+x^2 +....+x^(nβ1) )dx =β(1/n)[x+(x^2 /2)+....+(x^n /n)]_0 ^1 =β(1/n)(1+(1/2)+....+(1/n))=β(H_n /n) β Ξ¦_1 =Ξ£_(n=1) ^β (((β1)^n )/n^2 )H_n =Ξ£_(n=1) ^β (β1)^n (H_n /n^2 ) rest to find the value of this serie....be continued...](Q135294.png)
$$\Phi_{\mathrm{1}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}β\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}^{'} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(β\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(β\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{c}\left(\mathrm{c}=\mathrm{0}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(β\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}β\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(β\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}β\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}β\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow\Phi_{\mathrm{1}} =\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(β\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}β\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}β\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}β\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}β\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}β\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} β\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}β\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} β\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{1}β\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} β\mathrm{1}}{\mathrm{x}β\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+....+\mathrm{x}^{\mathrm{n}β\mathrm{1}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+....+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+....+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)=β\frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi_{\mathrm{1}} =\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(β\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\mathrm{H}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(β\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{serie}....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 12/Mar/21
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much} \\ $$$$\:\:\:\:\Sigma\frac{\left(β\mathrm{1}\right)^{{n}} {H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }=\frac{β\mathrm{5}}{\mathrm{8}}\:\zeta\left(\mathrm{3}\right) \\ $$