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Question Number 135424 by benjo_mathlover last updated on 13/Mar/21

Find solution set the inequality (√(2x−5)) + (√(25−3x)) > x

$${Find}\:{solution}\:{set}\:{the}\:{inequality} \\ $$ $$\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{5}}\:+\:\sqrt{\mathrm{25}−\mathrm{3}{x}}\:>\:{x} \\ $$

Answered by EDWIN88 last updated on 13/Mar/21

(1) 2x−5≥0→x≥(5/2) (2) 3x−25≤0→x≤((25)/3) (3)(√(25−3x)) > x−(√(2x−5)) → 25−3x > x^2 −2x(√(2x−5)) +2x−5 →20−5x > x^2 −2x(√(2x−5)) →2x(√(2x−5)) > x^2 +5x−20 ⇒4x^2 −2x−5) > x^4 +25x^2 +400+10x^3 −40x^2 −200x →x^4 +10x^3 −19x^2 −198x+405 < 0 →(x+9.21)(x+6.18)(x−2.28)(x−3.11)<0 →−9.21<x<−6.18 ∪ 2.28<x<3.11 solution set we get from (1)∩(2)∩(3) ⇒(5/2) ≤ x < 3.11 or [ (5/2) ; 3.11 )

$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{2x}−\mathrm{5}\geqslant\mathrm{0}\rightarrow\mathrm{x}\geqslant\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{3x}−\mathrm{25}\leqslant\mathrm{0}\rightarrow\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{3}} \\ $$ $$\left(\mathrm{3}\right)\sqrt{\mathrm{25}−\mathrm{3x}}\:>\:\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{5}}\: \\ $$ $$\rightarrow\:\mathrm{25}−\mathrm{3x}\:>\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{5}}\:+\mathrm{2x}−\mathrm{5} \\ $$ $$\rightarrow\mathrm{20}−\mathrm{5x}\:>\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{5}}\: \\ $$ $$\rightarrow\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{5}}\:>\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5x}−\mathrm{20} \\ $$ $$\left.\Rightarrow\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{5}\right)\:>\:\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{400}+\mathrm{10x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{40x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{200x} \\ $$ $$\rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{10x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{19x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{198x}+\mathrm{405}\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{9}.\mathrm{21}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{6}.\mathrm{18}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}.\mathrm{28}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}.\mathrm{11}\right)<\mathrm{0} \\ $$ $$\rightarrow−\mathrm{9}.\mathrm{21}<\mathrm{x}<−\mathrm{6}.\mathrm{18}\:\cup\:\mathrm{2}.\mathrm{28}<\mathrm{x}<\mathrm{3}.\mathrm{11} \\ $$ $$\mathrm{solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{from}\:\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\cap\left(\mathrm{3}\right) \\ $$ $$\Rightarrow\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\:\leqslant\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{3}.\mathrm{11}\:\mathrm{or}\:\left[\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\:;\:\mathrm{3}.\mathrm{11}\:\right) \\ $$

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