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Question Number 135672 by Raxreedoroid last updated on 14/Mar/21

Write Σ_(k=1) ^(n−2) kx^(k−1) in terms n

$$\mathrm{Write}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}{kx}^{{k}−\mathrm{1}} \:\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:{n} \\ $$

Answered by Olaf last updated on 15/Mar/21

a^n −b^n = (a−b)(a^(n−1) +a^(n−2) b+a^(n−3) b^2 ... +a^2 b^(n−3) +ab^(n−2) +b^(n−1) ) If a = x and b = 1 : x^n −1 = (x−1)Σ_(k=0) ^(n−1) x^k Let f(x) = ((x^n −1)/(x−1)) (x≠1) then f(x) = Σ_(k=0) ^(n−1) x^k and f′(x) = ((nx^(n−1) (x−1)−(x^n −1))/((x−1)^2 )) = Σ_(k=1) ^(n−1) kx^(k−1) (((n−1)x^n −nx^(n−1) +1)/((x−1)^2 )) = Σ_(k=1) ^(n−1) kx^(k−1) (((n−2)x^(n−1) −(n−1)x^(n−2) +1)/((x−1)^2 )) = Σ_(k=1) ^(n−2) kx^(k−1)

$${a}^{{n}} −{b}^{{n}} \:=\:\left({a}−{b}\right)\left({a}^{{n}−\mathrm{1}} +{a}^{{n}−\mathrm{2}} {b}+{a}^{{n}−\mathrm{3}} {b}^{\mathrm{2}} ...\right. \\ $$$$\left.+{a}^{\mathrm{2}} {b}^{{n}−\mathrm{3}} +{ab}^{{n}−\mathrm{2}} +{b}^{{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{If}\:{a}\:=\:{x}\:\mathrm{and}\:{b}\:=\:\mathrm{1}\:: \\ $$$${x}^{{n}} −\mathrm{1}\:=\:\left({x}−\mathrm{1}\right)\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{x}^{{k}} \\ $$$$\mathrm{Let}\:{f}\left({x}\right)\:=\:\frac{{x}^{{n}} −\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\:\left({x}\neq\mathrm{1}\right)\:\mathrm{then}\:{f}\left({x}\right)\:=\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{x}^{{k}} \\ $$$$\mathrm{and}\:{f}'\left({x}\right)\:=\:\frac{{nx}^{{n}−\mathrm{1}} \left({x}−\mathrm{1}\right)−\left({x}^{{n}} −\mathrm{1}\right)}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{kx}^{{k}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right){x}^{{n}} −{nx}^{{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{kx}^{{k}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\frac{\left({n}−\mathrm{2}\right){x}^{{n}−\mathrm{1}} −\left({n}−\mathrm{1}\right){x}^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}{kx}^{{k}−\mathrm{1}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Mar/21

S_n (x)=Σ_(k=1) ^(n−2) kx^(k−1) we have Σ_(k=0) ^(n−2) x^k =((1−x^(n−1) )/(1−x)) (if x≠1) ⇒Σ_(k=1) ^(n−2) kx^(k−1) =(d/dx)(((x^(n−1) −1)/(x−1))) =(((n−1)x^(n−2) (x−1)−x^(n−1) +1)/((x−1)^2 ))=(((n−1)x^(n−1) −(n−1)x^(n−2) −x^(n−1) +1)/((x−1)^2 )) =((nx^(n−1) −(n−1)x^(n−2) +1)/((x−1)^2 ))=S_n (x) if x=1 ⇒S_n (1) =Σ_(k=1) ^(n−2) k =(((n−2)(n−1))/2)

$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{kx}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\:\left(\mathrm{if}\:\mathrm{x}\neq\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{kx}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:−\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}\right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{k}\:=\frac{\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 15/Mar/21

sorry S_n (x)=(((n−2)x^(n−1) −(n−1)x^(n−2) +1)/((x−1)^2 ))

$$\mathrm{sorry}\:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$

Answered by Ñï= last updated on 15/Mar/21

Σ_(k=1) ^(n−2) kx^(k−1) =(d/dx)Σ_(k=1) ^(n−2) ∫_0 ^x kx^(k−1) dx=(d/dx)Σ_(k=1) ^(n−2) x^k =(d/dx)[((x(x^(n−2) −1))/(x−1))] =(((n−2)x^(n−1) −(n−1)x^(n−2) +1)/((x−1)^2 ))

$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}{kx}^{{k}−\mathrm{1}} =\frac{{d}}{{dx}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} {kx}^{{k}−\mathrm{1}} {dx}=\frac{{d}}{{dx}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}{x}^{{k}} =\frac{{d}}{{dx}}\left[\frac{{x}\left({x}^{{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{{x}−\mathrm{1}}\right] \\ $$$$=\frac{\left({n}−\mathrm{2}\right){x}^{{n}−\mathrm{1}} −\left({n}−\mathrm{1}\right){x}^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$

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