Question Number 135889 by Ar Brandon last updated on 16/Mar/21
$$\mathrm{1}\backslash\:\mathrm{If}\:\mathrm{A}\:\mathrm{and}\:\mathrm{B}\:\mathrm{are}\:\mathrm{sets}\:\mathrm{define}\:\mathrm{their}\:\mathrm{scheffer}\:\mathrm{product}\:\mathrm{A}\ast\mathrm{B}\:\mathrm{by}\:\mathrm{A}\ast\mathrm{B}=\mathrm{A}\ast\cap\mathrm{B}\ast \\ $$$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{by}\:\mathrm{definitions}\:\mathrm{that}\:\left(\mathrm{A}\ast\mathrm{B}\right)\ast\left(\mathrm{A}\ast\mathrm{B}\right)=\mathrm{A}\cup\mathrm{B} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}\backslash\:\mathrm{State}\:\mathrm{the}\:\mathrm{strong}\:\mathrm{principle}\:\mathrm{of}\:\mathrm{mathematical}\:\mathrm{induction}. \\ $$$$\mathrm{Suppose}\:\mathrm{that}\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:,\:\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{k}} =\mathrm{a}_{\mathrm{k}−\mathrm{2}} +\mathrm{2a}_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{natural}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{k}\geqslant\mathrm{3}.\:\mathrm{Use}\:\mathrm{the}\:\mathrm{strong}\:\mathrm{principle}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{mathematical}\:\mathrm{induction}\:\mathrm{to}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{natural}\:\mathrm{numbers}. \\ $$
Answered by mindispower last updated on 19/Mar/21
$${A}\ast{B}=....? \\ $$