Question Number 136040 by zakirullah last updated on 18/Mar/21
$$\:\:\:\:\:\:{find}\:{the}\:{smallest}\:{number}\:{which}\:{when}\:{we}\:{divide}\:{by}\:\mathrm{12},\mathrm{15},\mathrm{18},\:\mathrm{and}\:\mathrm{27}\:\mathrm{leaves}\:\mathrm{a}\:\mathrm{remainder} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{of}\:\mathrm{8},\mathrm{11},\mathrm{14}\:\mathrm{and}\:\mathrm{23}\:\mathrm{respectively}? \\ $$
Answered by mr W last updated on 18/Mar/21
$${N}=\mathrm{27}{a}+\mathrm{23}=\mathrm{27}{a}+\mathrm{9}+\mathrm{14} \\ $$$$\mathrm{27}{a}+\mathrm{9}=\mathrm{18}{b}\:\Rightarrow\mathrm{3}{a}+\mathrm{1}=\mathrm{2}{b}\:\Rightarrow{a}=\mathrm{2}{c}+\mathrm{1} \\ $$$${N}=\mathrm{27}\left(\mathrm{2}{c}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{23}=\mathrm{54}{c}+\mathrm{39}+\mathrm{11} \\ $$$$\mathrm{54}{c}+\mathrm{39}=\mathrm{15}{d}\:\Rightarrow\mathrm{18}{c}+\mathrm{13}=\mathrm{5}{d}\:\Rightarrow{c}=\mathrm{5}{e}−\mathrm{1} \\ $$$${N}=\mathrm{54}\left(\mathrm{5}{e}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{50}=\mathrm{270}{e}−\mathrm{12}+\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{270}{e}−\mathrm{12}=\mathrm{12}{f}\:\Rightarrow\mathrm{45}{e}−\mathrm{2}=\mathrm{2}{f}\:\Rightarrow{e}=\mathrm{2}{n} \\ $$$${N}=\mathrm{270}×\mathrm{2}{n}−\mathrm{4}=\mathrm{540}{n}−\mathrm{4} \\ $$$${N}_{{min}} =\mathrm{536} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 19/Mar/21
$${This}\:{is}\:{a}\:{special}\:{case}\:{in}\:{which}\:{difference} \\ $$$${between}\:{a}\:{divisor}\:{and}\:{its}\:{corresponding} \\ $$$${remainder}\:{is}\:{same}. \\ $$$$\mathrm{12}−\mathrm{8}=\mathrm{15}−\mathrm{11}=\mathrm{18}−\mathrm{14}=\mathrm{27}−\mathrm{23}=\mathrm{4} \\ $$$${In}\:{this}\:{case}: \\ $$$${Required}\:{number}={LCM}\left({divisors}\right)−{common}\:{difference} \\ $$$$={LCM}\left(\mathrm{12},\mathrm{15},\mathrm{18},\mathrm{27}\right)−\mathrm{4}=\mathrm{540}−\mathrm{4}=\mathrm{536} \\ $$
Commented by mr W last updated on 19/Mar/21
$${great}\:{sir}! \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 19/Mar/21
$$\mathcal{TH}\forall\mathcal{NKS}{ss}\:\mathcal{S}{ir}! \\ $$$$\mathcal{P}{lease}\:{see}\:{my}\:{answer}\:{to} \\ $$$${Q}#\mathrm{135507}\:{if}\:{you}\:{haven}'{t}\:{seen}\:{it} \\ $$$$\&\:{give}\:{critical}\:{remark}. \\ $$