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Question Number 136258 by EDWIN88 last updated on 20/Mar/21

lim_(x→2a) (((√(x−2a)) + (√x) −(√(2a)))/( (√(x^2 −4a^2 )))) =? where a>0

$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}\:+\:\sqrt{\mathrm{x}}\:−\sqrt{\mathrm{2a}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} }}\:=?\:\mathrm{where}\:\mathrm{a}>\mathrm{0} \\ $$

Answered by liberty last updated on 20/Mar/21

L′Ho^ pital = lim_(x→2a) (1/( (√(x+2a)))) .lim_(x→2a) (((√(x−2a)) +(√x)−(√(2a)))/( (√(x−2a)))) =(1/(2(√a))) .lim_(x→2a) (((1/(2(√(x−2a)))) +(1/(2(√x))))/(1/(2(√(x−2a))))) =(1/(2(√a))) .lim_(x→2a) ((((√x) +(√(x−2a)))/( (√x) (√(x−2a))))).(√(x−2a)) =(1/(2(√a))) .lim_(x→2a) ((((√x) +(√(x−2a)))/( (√x)))) =(1/(2(√a))). (((√(2a)) +0)/( (√(2a)))) = (1/(2(√a)))

$$\:{L}'{H}\ddot {{o}pital}\: \\ $$ $$=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}{a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{2}{a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}{a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}\:+\sqrt{{x}}−\sqrt{\mathrm{2}{a}}}{\:\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}{a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}}} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}{a}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\sqrt{{x}}\:+\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}}{\:\sqrt{{x}}\:\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}}\right).\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}{a}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\sqrt{{x}}\:+\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}}{\:\sqrt{{x}}}\right) \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}}}.\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}{a}}\:+\mathrm{0}}{\:\sqrt{\mathrm{2}{a}}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}}} \\ $$

Answered by EDWIN88 last updated on 20/Mar/21

Without L′Ho^ pital lim_(x→2a) (1/( (√(x+2a)))) .lim_(x→2a) ((((√(x−2a)) +((√x) −(√(2a)) ))/( (√(x−2a)))) = (1/(2(√a))) .lim_(x→2a) (1+ (((√x)−(√(2a)))/( (√(x−2a)))) ) =(1/(2(√a))) .(1+lim_(x→2a) ((x−2a)/(((√x)+(√(2a)) )(√(x−2a)))) ) = (1/(2(√a))) .(1+ lim_(x→2a) ((√(x−2a))/( (√x) +(√(2a)))) )= (1/(2(√a))).(1+0) = (1/(2(√a))) .

$$\mathrm{Without}\:\mathrm{L}'\mathrm{H}\ddot {\mathrm{o}pital}\: \\ $$ $$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{2a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}\:+\left(\sqrt{\mathrm{x}}\:−\sqrt{\mathrm{2a}}\:\right)\right.}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}}\: \\ $$ $$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{1}+\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{2a}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}}\:\right) \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}}}\:.\left(\mathrm{1}+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}{\left(\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{2a}}\:\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}}\:\right)\: \\ $$ $$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}}}\:.\left(\mathrm{1}+\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}\:+\sqrt{\mathrm{2a}}}\:\right)=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}}}.\left(\mathrm{1}+\mathrm{0}\right) \\ $$ $$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}}}\:. \\ $$

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