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Question Number 136370 by mathmax by abdo last updated on 21/Mar/21

letf(x)=x^3 arctan((π/x)) 1) calculate f^((n)) (x) 2)calculate f^((n)) (1) 3) developp f at integer serie

$$\mathrm{letf}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{arctan}\left(\frac{\pi}{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{calculate}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\:\mathrm{developp}\:\mathrm{f}\:\mathrm{at}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{serie} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 22/Mar/21

1)f(x)=x^3 arctan((π/x)) if x>0 ⇒f(x)=x^3 ((π/2)−arctan((x/π))) =(π/2)x^3 −x^3 arctan((x/π)) =u(x)−v(x) ⇒f^((n)) =u^((n)) −v^((n)) u(x)=(π/2)x^3 ⇒u^((1)) x)=(3/2)πx^2 ,u^((2)) (x)=3πx and u^((3)) (x)=3π v(x)=x^3 arctan((x/π))⇒v^((n)) (x)=Σ_(k=0) ^n C_n ^k (x^3 )^((k)) (arctan((x/π)))^((n−k)) =C_n ^0 x^3 (arctan((x/π)))^((n)) +C_n ^1 3x^2 (arctan((x/π)))^((n−1)) +C_n ^2 6x (arctan((x/π)))^((n−2)) +C_n ^3 6(arctan((x/π)))^((n−3)) we have (arctan((x/π)))^((1)) =(1/(π(1+(x^2 /π^2 )))) =(π/(x^2 +π^2 )) =(π/((x−iπ)(x+iπ)))=π((1/(x−iπ))−(1/(x+iπ))).(1/(2iπ))=(1/(2i))((1/(x−iπ))−(1/(x+iπ))) ⇒(arctan((x/π)))^((m)) =(1/(2i))( (((−1)^(m−1) (m−1)!)/((x−iπ)^m ))−(((−1)^(m−1) (m−1)!)/((x+iπ)^m ))) =(((−1)^(m−1) (m−1)!)/(2i))((((x+iπ)^m −(x−iπ)^m )/((x^2 +π^2 )^m ))) =(((−1)^(m−1) (m−1)! Im((x+iπ))^m )/((x^2 +π^2 )^m )) ⇒ v^((n)) (x)=C_n ^o x^(3 ) .(((−1)^(n−1) (n−1)!Im((x+iπ)))^n )/((x^2 +π^2 )^n )) +3C_n ^(1 ) x^2 .(((−1)^(n−2) (n−2)! Im((x+iπ))^(n−1) )/((x^2 +π^2 )^(n−1) )) +6C_n ^2 x .(((−1)^(n−3) (n−3)!Im((x+iπ))^(n−2) )/((x^2 +π^2 )^(n−3) )) +6 C_n ^3 .(((−1)^(n−4) (n−4)!Im((x+iπ)))^(n−3) )/((x^2 +π^2 )^(n−3) )) and f^((n)) (x)=u^((n)) (x)+v^((n)) (x) ⇒ f^((n)) (1)=u^((n)) (1)+v^((n)) (1)....

$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{arctan}\left(\frac{\pi}{\mathrm{x}}\right)\:\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}>\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\pi}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\pi}\right)\:=\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} =\mathrm{u}^{\left(\mathrm{n}\right)} −\mathrm{v}^{\left(\mathrm{n}\right)} \\ $$$$\left.\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\mathrm{u}^{\left(\mathrm{1}\right)} \mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\pi\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:,\mathrm{u}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{3}\pi\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{u}^{\left(\mathrm{3}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{3}\pi \\ $$$$\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\pi}\right)\Rightarrow\mathrm{v}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)^{\left(\mathrm{k}\right)} \:\:\left(\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\pi}\right)\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \\ $$$$=\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{0}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\pi}\right)\right)^{\left(\mathrm{n}\right)} \:+\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\pi}\right)\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$+\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{6x}\:\left(\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\pi}\right)\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)} +\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{3}} \:\mathrm{6}\left(\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\pi}\right)\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\left(\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\pi}\right)\right)^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\frac{\mathrm{1}}{\pi\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\pi^{\mathrm{2}} }\right)}\:=\frac{\pi}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\pi^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\pi}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\pi\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\pi\right)}=\pi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}\pi}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}\pi}\right).\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\pi}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}\pi}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}\pi}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\pi}\right)\right)^{\left(\mathrm{m}\right)} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\left(\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\pi\right)^{\mathrm{m}} }−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\pi\right)^{\mathrm{m}} }\right) \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2i}}\left(\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\pi\right)^{\mathrm{m}} −\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\pi\right)^{\mathrm{m}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\pi^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{m}} }\right) \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)!\:\mathrm{Im}\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\pi\right)\right)^{\mathrm{m}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\pi^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{m}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{v}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{o}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{3}\:} .\frac{\left.\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!\mathrm{Im}\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\pi\right)\right)\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\pi^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} } \\ $$$$+\mathrm{3C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{1}\:} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:.\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)!\:\mathrm{Im}\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\pi\right)\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\pi^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$+\mathrm{6C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\:\:\:.\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{3}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{3}\right)!\mathrm{Im}\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\pi\right)\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\pi^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}−\mathrm{3}} } \\ $$$$+\mathrm{6}\:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{3}} \:.\frac{\left.\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{4}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{4}\right)!\mathrm{Im}\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\pi\right)\right)\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{3}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\pi^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}−\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{u}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{v}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{u}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{v}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{1}\right).... \\ $$$$ \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 22/Mar/21

if x<0 we do ch .x=−t ⇒f(x)=f(−t)=(−t)^3 arctan((π/(−t))) =t^3 arctan((π/t)) =t^3 ((π/2)−arctant) =−x^3 ((π/2) +arctan(x))...

$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{ch}\:.\mathrm{x}=−\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(−\mathrm{t}\right)=\left(−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{3}} \:\mathrm{arctan}\left(\frac{\pi}{−\mathrm{t}}\right) \\ $$$$=\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{arctan}\left(\frac{\pi}{\mathrm{t}}\right)\:=\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctant}\right)\:=−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)\right)... \\ $$

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