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Question Number 136749 by EDWIN88 last updated on 25/Mar/21

Given system equation { ((x^2 +3xy+y^2 +1=0)),((x^3 +y^3 −7=0)) :} has solution (x_1 ,y_1 ) &(x_2 ,y_2 ) for x,y∈R. Find the value of x_1 ^2 .y_2 +x_2 ^2 .y_1 .

$$\mathrm{Given}\:\mathrm{system}\:\mathrm{equation}\: \\ $$ $$\:\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{7}=\mathrm{0}}\end{cases}\:\mathrm{has}\:\mathrm{solution}\: \\ $$ $$\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)\:\&\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{x},\mathrm{y}\in\mathbb{R}.\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value} \\ $$ $$\mathrm{of}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} .\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} .\mathrm{y}_{\mathrm{1}} .\: \\ $$

Answered by MJS_new last updated on 25/Mar/21

x=u−v∧y=u+v { ((5u^2 −v^2 +1=0 ⇒ v^2 =5u^2 +1)),((2u^3 +6uv^2 −7=0)) :} 2u^3 +6u(5u^2 +1)−7=0 u^3 +(3/(16))u−(7/(32))=0 u=(1/2)∨u=−(1/4)±((√6)/4)i now it′s easy to complete

$${x}={u}−{v}\wedge{y}={u}+{v} \\ $$ $$\begin{cases}{\mathrm{5}{u}^{\mathrm{2}} −{v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{v}^{\mathrm{2}} =\mathrm{5}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{uv}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$ $$\mathrm{2}{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{u}\left(\mathrm{5}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$ $${u}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}{u}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{32}}=\mathrm{0} \\ $$ $${u}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\vee{u}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{6}}}{\mathrm{4}}\mathrm{i} \\ $$ $$\mathrm{now}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{complete} \\ $$

Answered by bramlexs22 last updated on 26/Mar/21

{ (((x+y)^2 +xy+1=0)),(((x+y)^3 −3xy(x+y)−7=0)) :} set { ((x+y=u)),((xy=w)) :}⇔ { ((u^2 +w+1=0)),((u^3 −3uw−7=0)) :} substitute w=−u^2 −1 we get u^3 −3u(−u^2 −1)−7=0 ⇒ 4u^3 +3u−7=0 ⇒(u−1)(4u^2 +4u+7)=0 for 4u^2 +4u+7 = 0 rejected we get u=1 ∧ w −2 so we find { ((x+y=1)),((xy=−2)) :} ; y=1−x substitute y=1−x gives ⇒x(1−x)=−2 ; x^2 −x−2=0 (x−2)(x+1)=0 { ((x_1 =−1⇒y_1 =2)),((x_2 =2⇒y_2 =−1)) :}

$$\begin{cases}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{xy}+\mathrm{1}=\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3xy}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{7}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$ $$\mathrm{set}\:\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{u}}\\{\mathrm{xy}=\mathrm{w}}\end{cases}\Leftrightarrow\:\begin{cases}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{w}+\mathrm{1}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3uw}−\mathrm{7}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$ $$\mathrm{substitute}\:\mathrm{w}=−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3u}\left(−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{4u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3u}−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4u}+\mathrm{7}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{for}\:\mathrm{4u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4u}+\mathrm{7}\:=\:\mathrm{0}\: \mathrm{rejected}\: \\ $$ $$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{u}=\mathrm{1}\:\wedge\:\mathrm{w}\:−\mathrm{2} \\ $$ $$\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{1}}\\{\mathrm{xy}=−\mathrm{2}}\end{cases}\:;\:\mathrm{y}=\mathrm{1}−\mathrm{x} \\ $$ $$\mathrm{substitute}\:\mathrm{y}=\mathrm{1}−\mathrm{x}\:\mathrm{gives} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)=−\mathrm{2}\:;\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$ $$ \:\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\: \begin{cases}{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$ $$ \\ $$

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